Urbański P - Geometryczne podstawy mechaniki analitycznej.pdf - _ Matematyka. Algebra i Geometria - Marudziara

GEO.TEX

March 1, 2005

Geometryczne podstawy mechaniki analitycznej

Pawel Urbanski

Division of Mathematical Methods in Physics

University of Warsaw

Hoza 74, 00-682 Warszawa

1. Trochƒ topologii.

Topologi¡ na zbiorze M nazywamy rodzinƒ podzbior ó w M o nastƒpuj¡cych w“asno-

–ciach:

(a) ;;M 2

(b) je»eli O 1 ;O 2 2 , to O 1 \O 2 2

2I O 2 .

Podzbiory nale»¡ce do rodziny nazywamy zbiorami otwartymi. Zbi ó r M z ustalon¡ topo-

logi¡ nazywamy przestrzeni¡ topologiczn¡.

1.1. Aksjomaty oddzielania. Ze wzglƒdu na w“asno–ci oddzielania wyr ó »nimy nastƒpu-

j¡ce klasy topologii:

T 1 Dla ka»dej pary r ó »nych punkt ó w x;y 2 M istnieje zbi ó r otwarty O taki, »e x 2 O

oraz y 62 O. W takiej przestrzeni zbi ó r jednopunktowy jest domkniƒty.

T 2 Dla ka»dej pary r ó »nych punkt ó w x;y 2 M istniej¡ zbiory otwarte O;U takie, »e

x 2 O; y 2 U oraz O \U = ;. Przestrze« z topologi¡ o tej w“asno–ci nazywa siƒ

przestrzeni¡ Hausdora.

T 3 Dla ka»dego punktu x 2 M oraz zbioru domkniƒtego A M takiego, »e x 62 A

istniej¡ zbiory otwarte O;U M takie, »e x 2 O; A U oraz O \ U = ;. Za-

k“ada siƒ przy tym, »e zbi ó r jednopunktowy jest domkniƒty (przestrze« jest typu

T 1 ). Przestrze« z topologi¡ z tymi w“asno–ciami nazywa siƒ przestrzeni¡ regularn¡.

T 4 Dla ka»dej pary roz“¡cznych zbior ó w domkniƒtych A;B M; A\B = ; istniej¡

roz“¡czne zbiory otwrte O;U takie, »e A O; B U. Jak i poprzednio zak“ada

siƒ, »e zbi ó r jednopunktowy jest domkniƒty (przestrze« jest typu T 1 ). Przestrze« z

topologi¡ o tej w“asno–ci nazywa siƒ przestrzeni¡ normaln¡.

Przestrzenie normalne s¡ dla nas interesuj¡ce ze wzglƒdu na poni»sze podstawowe twier-

dzenie, ze wzglƒd ó w historycznych nazywane lematem.

Twierdzenie 1 (lemat Urysohna). Je»eli A i B s¡ domkniƒtymi zbiorami w przestrzeni

normalnej M oraz A\B = ;, to istnieje funkcja ci¡g“a f : M !R taka, »e

1 dla x 2 B

0 dla x 2 A

Dowod: (Szkic): Chcemy zb udowa¢ rodzinƒ zbior ó w otwartych fU w g, gdzie w 2Q\[0; 1] i

takich, »e je»eli w < w 0 , to U w U w 0 oraz A U 0 , B = MnU 1 . Niech (w n ) bƒdzie ci¡giem

wszystkich liczb wymiernych z przedzia“u [0; 1] takim, »e w 1 = 0 oraz w 2 = 1. Przestrze«

jest normalna, wiƒc istniej¡ roz“ ¡c zne zbiory otwarte U A i O B. K“adziemy U 0 = U i

U 1 = M nB. Mamy oczywi–cie U 0 U 1 . Za“ ó »my teraz, »e mamy ju» zbudowan¡ rodzinƒ

U w 0 ::: U w n . Wybierzmy z ci¡gu w 0 ::: w n dwie liczby: liczbƒ w l najbli»sz¡ w n+1 spo–r ó d

mniejszyc h o d niej i liczbƒ w p na jbli»sz¡ w n+1 spo–r ó d wiƒkszych od niej. Mamy oczywi–cie

w l < w p i U w l U w p . Zbiory U w l i M nU w p s¡ d om kniƒte i roz“¡czne, wiƒc z normalno–ci

pr zestrzeni istniej¡ roz“¡czne zbiory otwarte U U w l i O (M nU w p ). Wynika st¡d, »e

U U w p . K“adziemy U w n+1 = U.

Maj¡c rodzinƒ (U w ) deniujemy funkcjƒ f: M ! [0; 1] wzorem

f(x) =

inf

x2U w

Pokazuje siƒ, »e funkcja f jest ci¡g“a.

Twierdzenie 2 (Tietze{Urysohn). Niech A bƒdzie zbiorem domkniƒt ym w przestrzeni

normalnej M. Dla ka»dej funkcji ci¡g“ej f : A !R istnieje funkcja ci¡g“a f : M !R taka,

»e f(x) = f(x) dla x 2 A.

1.2. Przestrzenie parazwarte. M ó wimy, »e rodzina zbior ó w otwartych (O ) 2I tworzy

pokrycie M, je»eli [ 2I O = M. M ó wimy, »e pokrycie (U ) 2A jest wpisane w pokrycie

(O ) 2I je»eli dla ka»dego 2 A istnieje 2 I takie, »e U O .

Pokrycie (O ) 2I nazywamy lokalnie sko«czonym, je»eli dla ka»dego x 2 M istnieje oto-

czenie U 3 x takie, »e U \O 6= ; tylko dla sko«czonej liczby wska„nik ó w.

Definicja 1. Przestrze« topologiczn¡ Hausdora (M; ) nazywamy parazwart¡ je»eli w

ka»de pokrycie otwarte przestrzeni mo»na wpisa¢ pokrycie lokalnie sko«czone.

Pokazuje siƒ, »e ka»da przestrze« parazwarta jest normalna.

2. Rozmaito–ci r ó »niczkowe.

Niech M bƒdzie przestrzeni¡ topologiczn¡. Map¡ w M nazywamy tr ó jkƒ c = (U;’;m),

gdzie U jest otwartym podzbiorem M, m jest nieujemn¡ liczb¡ ca“kowit¡ i ’ jest home-

omorzmem U na otwarty podzbi ó r ’(U) w R m . Zbi ó r U jest nazywany dziedzin¡ mapy c,

a liczba m wymiarem mapy c.

Niech c = (U;’;m) bƒdzie map¡ w M i niech B bƒdzie otwartym podzbiorem M, za-

wartym w U. Tr ó jka cjB = (B;’jB;m) jest map¡ w M nazywan¡ obciƒciem mapy c do

Dwie mapy c = (U;’;m) and c 0 = (U;’ 0 ;m 0 ) z t¡ sam¡ dziedzin¡ U s¡ zgodne je»eli dwa

homeomorzmy

’ 0 ’ 1 : ’(U) ! ’ 0 (U)

(1)

’’ 01 : ’ 0 (U) ! ’(U) (2)

s¡ r ó »niczkowalne. R ó »niczkowalne bƒdzie zawsze oznacza¢ niesko«czenie r ó »niczkowalne,

czyli klasy C 1 . Wymiary m i m 0 zgodnych map s¡ r ó wne. Dwie dowolne mapy c = (U;’;m)

i c 0 = (U 0 ;’ 0 ;m 0 ) nazywamy zgodnymi je–li albo U \U 0 jest zbiorem pustym albo obciƒcia

c i c 0 do U \ U 0 s¡ zgodne. Atlas na M jest zbiorem parami zgodnych map takich, »e

ich dziedziny stanowi¡ pokrycie M. Je»eli ka»da mapa zgodna z mapami atlasu nale»y do

tego atlasu, to m ó wimy, »e atlas jezt zupe“ny lub maksymalny. Ka»dy atlas generuje atlas

maksymalny.

Definicja 2. Rozmaito–ci¡ r ó »niczkow¡ nazywamy topologiczn¡ przestrze« Hausdora M

z atlasem maksymalnym. Elementy atlasu nazywamy mapami rozmaito–ci r ó »niczkowej M.

Rozmaito–¢ r ó »niczkow¡ nazywa¢ bƒdziemy czyst¡ o wymiarze m je–li wszystkie jej mapy

s¡ wymiaru m.

W dalszym ci¡gu rozpatrywa¢ bƒdziemy tylko czyste rozmaito–ci.

Zbi ó r R m posiada kanoniczn¡ strukturƒ rozmaito–ci r ó »niczkowej zdeniowan¡ przez atlas

zupe“ny generowany atlasem sk“adaj¡cym siƒ z jednej mapy (R m ; 1 R m ;m).

Niech c = (U;’;m) bƒdzie map¡ rozmaito–ci M i niech pr :R m !R bƒdzie kanonicznym

rzutowaniem dla = 1;::: ;m. Funkcje x = pr j’(U) ’: U ! R nazywamy lokalnymi

wsp ó “rzƒdnymi dla mapy c.

Niech bƒdzie odwzorowaniem z rozmaito–ci r ó »niczkowej M do rozmaito–ci r ó »niczkowej

N i niech c = (U;’;m) oraz d = (V; ;n) bƒd¡ mapami odpowiednio M i N takimi, »e

(U) V . Odwzorowanie

’ 1 : ’(U) ! (V )

(3)

nazywamy lokalnym wyra»eniem odwzorowania w mapach c i d.

Definicja 3. Niech M i N bƒd¡ rozmaito–ciami r ó »niczkowymi. Odwzorowanie : M ! N

nazywamy r ó »niczkowalnym je»eli wszystkie jego lokalne wyra»enia s¡ r ó »niczkowalne. Dy-

feomorzm jest bijektywnym odwzorowaniem r ó »niczkowalnym z r ó »niczkowalnym odwzo-

rowaniem odwrotnym.

Zbi ó r odwzorowa« r ó »niczkowalnych z M do N jest oznaczany C 1 (N;M). Oczywistym

jest, »e z“o»enie odwzorowa« r ó »niczkowalnych rozmaito–ci jest odwzorowaniem r ó »niczko-

walnym.

Zbi ó r C 1 (R;M) wszystkich funkcji r ó »niczkowalnych na M jest przemienn¡ algebr¡

“¡czn¡ nad cia“em R. Oznacza¢ j¡ bƒdziemy C(M).

Definicja 4. Niech U bƒdzie otoczeniem punktu q 2 M. M ó wimy, »e r ó »niczkowalna

funkcja h: M !R separuje punkt q w zbiorze U je»eli

(a) istnieje otoczenie V punktu q takie, »e hjV = 1

oraz

(b) istnieje otwarty zbi ó r W taki, »e U [W = M i hjW = 0.

R ó wno–ci hjV = 1 i hjW = 0 implikuj¡, »e zbiory V i W s¡ roz“¡czne. Wynika st¡d, »e

V U, bo U [W = M.

Zauwa»my, »e je»eli funkcja h separuje punkt q w otoczeniu U i f jest funkcj¡ na M tak¡,

»e fjU = 0, wtedy hf = 0. Je»eli U i U 0 s¡ otoczeniami punktu q, U U 0 i funkcja h

separuje q in U, to h separuje q w U 0 .

Stwierdzenie 1. Dla ka»dego otoczenia U punktu q 2 M istnieje nieujemna funkcja h

separuj¡ca q w U.

Dowod: Wiadomo, »e funkcja

:R!R

dla t 0

: t 7!

(4)

exp(t 1 )

dla t > 0

jest niesko«czenie wiele razy r ó »niczkowalna.

Zauwa»my, »e

exp((t") 1 ) > 0

dla t < "

("t) =

(5)

dla t "

dla t "=2

(t"=2) =

(6)

exp(("=2 t) 1 ) > 0

dla t > "=2:

Zatem

("t) + (t"=2) > 0:

(7)

Wynika st¡d, »e funkcja

" :R7!R

("t)

("t) + (t"=2)

: t 7!

(8)

jest niesko«czenie r ó »niczkowalna. Mamy " (t) = 1 dla t < "=2 i " (t) = 0 dla t > ". W

przedziale ["=2;"] funkcja " maleje monotonicznie.

Niech U bƒdzie dziedzin¡ mapy c = (U;’;m) zawieraj¡c¡ punkt q 2 M i niech x (k =

1;::: ;m) bƒd¡ lokalnymi wsp ó “rzƒdnymi tej mapy. Niech " bƒdzie dodatni¡ liczb¡ tak¡, »e

domkniƒta kula

(

)

(q 0 ) 2R m ;

(q 0 q ) 2 " 2

B(q ;") =

(9)

jest zawarta w ’(U). Niech V bƒdzie przeciwobrazem ’ 1 (B(q ;"=2)) otwartej kuli

(

)

(q 0 ) 2R m ;

(q 0 q ) 2 " 2 =4

B(q ;"=2) =

(10)

Zbi ó r

W = M n’ 1

B(q ;")

(11)

jest otwarty i U [W = M. Funkcja

h: M !R

p P m =1 (x (q 0 ) x (q)) 2

(

dla q 0 2 U

: q 0 7!

dla q 0 62 U

jest niesko«czenie r ó »niczkowalna, hjV = 1 i hjW = 0. Zatem h separuje q w U. Je»eli

U nie jest dziedzin¡ mapy, to funkcjƒ h separuj¡c¡ q w U dostaniemy stosuj¡c powy»sz¡

konstrukcjƒ do dowolnej dziedziny mapy, zawieraj¡cej q i zawartej w U.

Stwierdzenie 1. Odwzorowanie : M ! N jest r ó »niczkowalne wtedy, gdy dla ka»dej

funkcji r ó »niczkowalnej f 2C(N) mamy

f = f 2C(M):

Dowod: Je»eli odwzorowanie jest r ó »niczkowalne i f 2C, to f jest r ó »niczkowalna,

bo z“o»enie odwzorowa« r ó »niczkowalnych jest r ó »niczkowalne.

Niech teraz f 2C(M) dla ka»dej funkcji f 2C(N). Lokalne wyra»enie

’ 1 : ’(U) ! (V )

w mapach c = (U;’;m) oraz d = (V; ;n) jest r ó »niczkowalne, je»eli jest r ó »niczkowalne w

ka»dym punkcie. Niech q 2 U i niech funkcja h 2C(N) separuje (q) w V . Odwzorowanie

h mo»na przed“u»y¢ zerem do odwzorowania g“adkiego e na ca“ym N. Na mocy za“o»enia

wsp ó “rzƒdne tego odwzorowania s¡ funkcjami g“adkimi, zatem e i e ’ 1

s¡ od-

wzorowaniami g“adkimi. Poniewa» w otoczeniu ’(q) odwzorowanie e ’ 1

jest r ó wne

’ 1 , wiƒc to ostatnie jest r ó »niczkowalne (g“adkie) w ’(q).

Warunek z denicji rozmaito–ci, »e M jest przestrzeni¡ Hausdora jest istotny. Nie wynika

on z istnienia atlasu, co ilustruje poni»szy przyk“ad.

Niech:

R 2 B = f(x;y) 2R 2 : y = 0 lub y = 1g:

Topologia na B jest topologi¡ z R 2 . W B wprowadzamy relacjƒ r ó wnowa»no–ci

: (x 1 ;y 1 ) (x 2 ;y 2 ) , (x 1 = x 2 ) i ((y 1 = y 2 ) lub (x 1 > 0)):

Wtedy B= nie jest Hausdora, bo ka»da para otocze« punkt ó w A = (0; 0) i B = (0; 1) ma

niepuste przeciƒcie. W oczywisty spos ó b wprowadzamy na B lokalne uk“ady wsp ó “rzƒdnych.

2.1. Rozmaitosci parazwarte. Rozklad jednosci. W–r ó d rozmaito–ci r ó »niczkowych

szczeg ó ln¡ rolƒ odgrywaj¡ rozmaito–ci parazwarte. Do tego stopnia, »e na og ó “ »¡danie

parazwarto–ci jest elementem denicji.

Przypomnijmy, »e przestrze« jest parazwarta, je»eli w ka»de pokrycie (zbiorami otwar-

tymi) mo»na wpisa¢ pokrycie lokalnie sko«czone.

Zauwa»my teraz, »e je»eli dana jest funkcja g“adka h: M !R oraz zbi ó r otwarty U M,

to zbi ó r punkt ó w kt ó re funkcja h separuje w U jest otwarty.

Stwierdzenie 2. Niech M bƒdzie rozmaito–ci¡ parazwart¡. Dla ka»dego pokrycia zbiorami

otwartymi (U ) 2A istniej¡ wpisane we« pokrycie (O ) 2I oraz rodzina nieujemnych funkcji

(h i ) 2I takie, »e

a) (O ) 2A jest pokryciem lokalnie sko«czonym,

b) (V ) 2I jest pokryciem M, gdzie V jest niepustym zbiorem punkt ó w separowanych

w O przez h .

Stwierdzenie to pozostawimy bez (niezbyt skomplikowanego) dowodu. Wynika z niego

podstawowe dla zastosowa« twierdzenie o istnieniu rozk“adu jedno–ci.

Definicja 5. Rozk“adem jedno–ci na M nazywamy rodzinƒ funkcji (f ) tak¡, »e

a) dla ka»dego punktu q 2 M istnieje otoczenie U takie, »e tylko sko«czona liczba

funkcji z tej rodziny jest r ó »na od zera na U,

b) funcje f s¡ nieujemne,

f (q) = 1 dla ka»dego q 2 M.

W“asno–¢ a) nazywa siƒ lokaln¡ sko«czono–ci¡ rodziny

Twierdzenie 3. Dla ka»dego pokrycia (U ) 2A rozmaito–ci parazwartej M istnieje roz-

k“ad jedno–ci (f ) 2I taki, »e dla ka»dego istnieje ( ) 2 A, »e supp f U ( ) .

Dowod: Ze Stwierdzenia 2 wynika istnienie lokalnie sko«czonej rodziny nieujemnych funk-

cji (h i ) 2I takiej, »e dla kazdego istnieje 2 A takie, »e supp h i U oraz »e dla ka»dego

q 2 M istnieje funkcja h z tej rodziny dla kt ó rej h (q) = 1. Wynika st¡d, »e h = P

h ma

sens i jest dodatni¡ funkcj¡ r ó »niczkowaln¡. Teraz wystarczy po“o»y¢ f = h

Š atwo zauwa»y¢, »e z istnienia rozk“adu jedno–ci wpisanego w dowolne otoczenie wynika

parazwarto–¢. Zatem dla rozmaito–ci parazwarto–¢ jest r ó wnowa»na istnieniu (dla ka»dego

pokrycia) r ó »niczkowalnego rozk“adu jedno–ci.

2.2. Rozpoznawanie parazwarto–ci. Z faktu, »e lokalnie M jest dieomorczne oto-

czeniu otwartemu w R m wynika, »e M jest przestrzeni¡ lokalnie zwart¡, tzn. ka»dy punkt

posiada zwarte otoczenie. Ta w“asno–¢ pozwala “atwiej rozpoznawa¢ rozmaito–ci parazwarte.

Twierdzenie 4. Lokalnie zwarta przestrze« M jest parazwarta wtedy i tylko wtedy, gdy

jest sum¡ M = S 1

i=1 K i przeliczalnej rodziny zbior ó w zwartych.

Definicja 6. M ó wimy, »e pewna rodzina (O ) 2 zbior ó w otwartych tworzy bazƒ topologii,

gdy dowolny zbi ó r otwarty jest sum¡ zbior ó w nale»¡cych do tej rodziny.

Przyk“ad 1. Na przyk“ad w R n istnieje przeliczalna baza topologii. Jako zbiory bazowe

bierzemy kule o –rodku w punkcie o wsp ó “rzƒdnych wymiernych i o promieniu wymiernym.

Twierdzenie 5. Dla rozmaito–ci M nastƒpuj¡ce warunki s¡ r ó wnowa»ne

(1) M jest parazwarta,

(2) M posiada przeliczaln¡ bazƒ topologii,

(3) M jest o–rodkowa, tzn. posiada przeliczalny zbi ó r gƒsty,

(4) M jest sum¡ przeliczalnej rodziny zbior ó w zwartych.

Przyklad spojnej rozmaitosci nieparazwartej. Zdeniujmy p ó “przestrzenie w R 2 :

R 2 + = f(x;y) 2R 2 : y > 0g;

R 2 = f(x;y) 2R 2 : y60g

oraz rodzinƒ odwzorowa«

f a :R 2 + !R 2 +

: (x;y) 7! (a + yx;y):

(12)

W zbiorze R 2 R wprowadzamy relacjƒ r ó wnowa»no–ci:

a = a 0 ; (x;y) = (x 0 ;y 0 ); dla (x;y) 2R 2

f a (x;y) = f a 0 (x 0 ;y 0 );

(x;y;a) (x 0 ;y 0 ;a 0 )

(13)

dla (x;y) 2R 2 +

Urbański P - Geometryczne podstawy mechaniki analitycznej.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: