Wykład 11 - Równanie Naviera - Stokesa.pdf

(173 KB) Pobierz
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/strict.dtd">
J. Szantyr – Wykład 11 – Równanie
Naviera-Stokesa
George Stokes – 1819 – 1903
Claude Navier 1785 - 1836
Podstawienie zależności wynikających z modelu płynu Newtona
do równania zachowania pędu daje równanie znane jako równanie
Naviera-Stokesa.
Naviera-Stokesa.
W formie skalarnej ma ono postać trzech równań:
Du
p
u
u
v
u
w
R
=
R
f
−
+
2
Μ
+
L
div
u
+
Μ
+
+
Μ
+
x
Dt
x
x
x
y
y
x
z
z
x
Dv
p
u
v
v
v
w
R
=
R
f
−
+
Μ
+
+
2
Μ
+
L
div
u
+
Μ
+
y
Dt
y
x
y
x
y
y
z
z
y
Dw
p
u
w
v
w
w
R
=
R
f
−
+
Μ
+
+
Μ
+
+
2
Μ
+
L
div
u
z
Dt
z
x
z
x
y
z
y
z
z
835039232.030.png 835039232.031.png 835039232.032.png 835039232.033.png 835039232.001.png 835039232.002.png 835039232.003.png 835039232.004.png 835039232.005.png 835039232.006.png
W formie wektorowej równanie Naviera Stokesa ma postać:
D
R
=
R
f
−
gradp
+
grad
(
L
div
u
)
+
div
(
2
Μ
[
D
]
)
Dt
A
=
B
+
C
+
D
+
E
A – prędkość zmiany pędu elementu płynu
B - siła masowa
C - siła powierzchniowa ciśnienia
D – siła powierzchniowa związana z lepkością płynu, wynikająca
ze zmiany objętości elementu płynu ściśliwego (kompresji lub
ekspansji)
E - siła powierzchniowa związana z lepkością płynu, wynikająca
z deformacji liniowej i postaciowej elementu płynu
835039232.007.png 835039232.008.png 835039232.009.png 835039232.010.png
W płynie nieściśliwym równanie Naviera Stokesa upraszcza się
do postaci:
D
R
=
R
f
−
gradp
+
div
(
2
Μ
[
D
]
)
Dt
Jeżeli dodatkowo założymy, że lepkość płynu jest stała,to mamy:
D
R
=
R
f
−
gradp
+
Μ
D
u
Dt
Dalszym możliwym uproszczeniem jest
założenie o braku lepkości płynu, które prowadzi
do równania Eulera , opisującego ruch płynu
nielepkiego i nieściśliwego:
D
Leonhard Euler
1707 - 1783
R
= R
f
−
gradp
Dt
Równanie Naviera Stokesa może być rozwiązane analitycznie tylko
dla niewielu uproszczonych przypadków. Wybrane przykłady
opisano niżej.
835039232.011.png 835039232.012.png 835039232.013.png 835039232.014.png 835039232.015.png 835039232.016.png 835039232.017.png 835039232.018.png 835039232.019.png 835039232.020.png 835039232.021.png
Przykłady rozwiĄzaŃ analitycznych równania Naviera Stokesa
dla prostych przepływów
Założenie: rozpatrujemy przepływ jednokierunkowy, tzn. taki w
którym v=w=0 czyli wektory prędkości są równoległe do siebie
w każdym punkcie pola.
Jeżeli płyn jest nieściśliwy to z równania zachowania masy mamy:
u
u
=
u
(
y
,
z
,
t
)
=
0
czyli:
=
0
czyli:
u
=
u
(
y
,
z
,
t
)
x
Wtedy równanie Naviera Stokesa upraszcza się do postaci:
2
2
u
u
u
p
R
−
Μ
+
=
−
2
2
t
y
z
x
p
p
Ponieważ lewa strona nie zależy od x, a ponadto mamy:
=
=
0
y
z
dp
p
=
p
(
x
,
t
)
czyli:
=
f
( )
t
to:
dp
D
p
dx
=
dx
D
x
835039232.022.png 835039232.023.png 835039232.024.png 835039232.025.png 835039232.026.png
Przykład 1 : Ustalony laminarny przepływ pomiędzy dwoma
nieskończonymi równoległymi płytami (przepływ Poiseuille’a)
D
p
=
const
Dane:
D
x
Warunki brzegowe:
u=0 dla y=h
u=0 dla y=-h
u=0 dla y=-h
RozwiĄzanie
2
d
u
1
D
p
=
Równanie Naviera Stokesa przybiera postać:
2
dy
Μ
D
x
Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy:
2
1
D
p
y
u
(
y
)
=
+
C
y
+
C
1
2
Μ
D
x
2
835039232.027.png 835039232.028.png 835039232.029.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin