Przykładowe zadania na zaliczenie matematyki z semestru 1 z rozwiązaniami.pdf

(186 KB) Pobierz
Przykþadowe zadania na zaliczenie matematyki z semestru 1 z rozwiĢzaniami
2
1
3
n
8
n
−
−
1. Oblicz granicħ ciĢgu o wyrazie oglnym
a n
=
2
(
2
n
1
−
2
1
3
n
8
n
1
3
8
−
−
−
−
2
2
1
3
n
8
n
1
3
n
8
n
8
−
−
−
−
−
2
2
2
2
n
n
n
n
n
RozwiĢzanie:
lim
lim
lim
lim
2
=
=
=
=
=
−
2
2
4
1
2
4
4
(
2
n
1
4
n
4
n
1
4
n
4
n
1
−
+
n
−
n
−
+
n
n
−
+
2
2
2
2
n
n
n
n
n
Komentarz: z uwagi na postaę wyrazu oglnego ciĢgu (uþamek) dzielimy kaŇdy wyraz licznika i mianownika
1
lim =
n
przez n w najwyŇszej potħdze w mianowniku. Dalej korzystamy z wzoru, Ňe
0
a
n
2
(
3
n
)(
4
n
5
n
)
−
−
2. Oblicz granicħ ciĢgu
a n
=
2
(
2
n
3
−
2
3
4
n
17
n
15
n
−
+
2
2
3
2
3
4
n
−
5
n
−
12
n
+
15
n
4
n
−
17
n
+
15
n
2
2
2
n
n
n
lim
=
lim
=
lim
=
2
2
2
4
n
−
12
n
+
9
4
n
−
12
n
+
9
4
n
12
n
9
−
+
n
n
n
2
2
2
RozwiĢzanie:
n
n
n
4
−
17
+
15
n
0
−
17
+
n
=
lim
=
=
+
12
9
4
−
+
4
−
0
+
0
n
n
2
n
Komentarz: postħpujemy tak jak w zadaniu 1. MoŇna byþo takŇe zauwaŇyę, Ňe n w liczniku jest w wyŇszej potħdze
niŇ w mianowniku, stĢd granicĢ jest nieskoıczonoĻę z odpowiednim znakiem wynikajĢcym ze znaku licznika i
mianownika.
3
x
3. Oblicz granice funkcji
f
(
x
)
w punkcie
x
2
= x
0 =
2
−
RozwiĢzanie: Punkt
x
2
nie naleŇy do dziedziny funkcji (mianownik jest zerowy), tym samym wyznaczamy
0 =
granice jednostronne.
3
x
"
3
x
"
lim
=
=
−
lim
=
=
+
−
+
x
−
2
x
−
2
"
"
"
"
−
+
x
2
x
2
"
Zapis
− czytamy áprawie 6 w liczniku i prawie zero w mianowniku, ale ze znakiem minusÑ. WartoĻciĢ
uþamka, gdzie w liczniku jest liczba rŇna od zera, a mianownik bliski zera jest zawsze nieskoıczonoĻę z
odpowiednim znakiem.
"
"
2
x
4. Wyznacz dziedzinħ funkcji
f
(
x
)
i jej granice na kraıcach dziedziny
=
x
3
+
RozwiĢzanie: dziedzinĢ tej funkcji jest zbir liczb rzeczywistych z wyþĢczeniem liczby Î3 (bo mianownik nie moŇe
byę rwny zero). MoŇna to zapisaę tak:
{ }
{
)
xD
Wyznaczamy teraz granice na kraıcach dziedziny, przy czym granice w plus (minus) nieskoıczonoĻci
wyznaczymy zgodnie z komentarzem do zadania 2.
:
− x
R
−
3
lub
D
:
(
−
;
−
3
(
−
3
+
2
2
x
x
lim
= + +
−
lim
=
+
x
3
x
+
3
x
−
x
Granice jednostronne w punkcie Î3 wyznaczamy zgodnie z rozwiĢzaniem zadania 3.
2
2
x
"
x
"
lim
=
=
−
lim
=
=
+
−
+
x
+
3
"
"
x
+
3
"
"
−
+
x
−
3
x
−
3
996003838.070.png 996003838.081.png 996003838.091.png 996003838.102.png 996003838.001.png 996003838.012.png 996003838.022.png 996003838.023.png 996003838.024.png 996003838.025.png 996003838.026.png 996003838.027.png 996003838.028.png 996003838.029.png 996003838.030.png 996003838.031.png 996003838.032.png 996003838.033.png 996003838.034.png 996003838.035.png 996003838.036.png 996003838.037.png 996003838.038.png
3
x
5. Czy funkcja
f
(
x
)
ma asymptotħ poziomĢ? JeŇeli tak, to proszħ podaę jej rwnanie.
= x
2
−
RozwiĢzanie: þatwo zauwaŇyę, Ňe granice tej funkcji w minus i plus nieskoıczonoĻci sĢ rwne 3, tym samym
prosta y=3 jest asymptotĢ poziomĢ tej funkcji.
3
x
3
x
3
3
x
lim
lim
lim
3
=
=
=
=
x
2
x
2
2
1
1
−
−
−
x
±
x
±
x
±
x
x
x
Inna metoda, to peþne badanie czy istnieje asymptota ukoĻna
ay +
b
(pozioma to szczeglny przypadek
=
ukoĻnej, gdy parametr
a
0
):
=
3
x
3
x
3
f
(
x
)
3
x
3
x
0
2
x
−
2
x
x
a
lim
lim
lim
lim
lim
lim
0
=
=
=
=
=
=
=
2
2
2
x
x
x
(
x
2
)
x
2
x
1
1
0
−
x
−
2
x
−
−
x
±
x
±
x
±
x
±
x
±
−
x
±
x
2
2
x
x
3
x
3
x
[
]
b
=
lim
f
(
x
)
−
ax
=
lim
−
0
x
=
lim
=
3
x
−
2
x
−
2
x
±
x
±
x
±
3
x
Ostatecznie prosta
y
= x
0 =
+
3
jest asymptotĢ (poziomĢ) funkcji
f
(
x
)
= x
2
−
2
x
6. Czy funkcja
f
(
x
)
posiada asymptotħ ukoĻnĢ? JeŇeli tak, to podaj jej rwnanie.
=
x
3
+
RozwiĢzanie: znajdujemy granice na parametr a i b zgodnie z komentarzem do zadania 5. JeŇeli bħdĢ to granice
skoıczone, to istnieje asymptota ukoĻna o rwnaniu
ay +
b
=
2
2
x
x
2
2
f
(
x
)
x
x
1
1
2
x
+
3
x
a
lim
lim
lim
lim
lim
lim
1
=
=
=
=
=
=
=
x
x
x
(
x
3
2
2
3
1
0
+
x
3
x
x
3
x
1
−
x
±
x
±
x
±
x
±
+
x
±
x
±
−
+
x
2
2
x
x
2
2
2
2
x
x
−
x
(
x
+
3
x
−
x
−
3
x
−
3
x
[
]
b
=
lim
f
(
x
)
−
ax
=
lim
−
1
x
=
lim
=
lim
=
lim
=
−
3
x
+
3
x
+
3
x
+
3
x
+
3
x
±
x
±
x
±
x
±
x
±
Obie granice sĢ skoıczone, w takim razie prosta
y
= x
3
jest asymptotĢ poziomĢ tej funkcji.
−
2
x
5
x
6
+
−
7. Oblicz pochodnĢ funkcji
f
(
x
)
e
=
2
x
+
5
x
−
6
RozwiĢzanie: funkcja
f
(
x
)
=
e
jest zþoŇeniem dwch funkcji:
z
e
f
(
x
)
=
2
z
=
x
+
5
x
−
6
Zgodnie z zasadĢ wyznaczania pochodnej funkcji zþoŇonej (pochodna funkcji zewnħtrznej razy pochodna funkcji
wewnħtrznej) mamy:
( ) ( ) (
)
'
'
'
2
2
2
x
5
x
6
z
2
z
x
5
x
6
x
5
x
6
+
−
+
−
+
−
f
'
(
x
)
=
e
=
e
x
+
5
x
−
6
=
e
(
2
x
+
5
=
e
(
2
x
+
5
=
(
2
x
+
5
e
4
f
( =
x
cos
x
8. Oblicz pochodnĢ funkcji
4
RozwiĢzanie: funkcja
f
( =
x
cos
x
jest ápotrjnieÑ zþoŇona
z
4
f
(
x
)
=
z
=
u
u
=
cos
x
Zgodnie z zasadĢ wyznaczania pochodnej funkcji zþoŇonej (pochodna funkcji zewnħtrznej razy pochodna funkcji
wewnħtrznej) mamy: ( ) ( ) ( )
3
1
−
4
sin
x
cos
x
'
'
'
4
'
4
3
f
'
(
x
)
=
cos
x
=
z
u
cos
x
=
4
u
(
−
sin
x
)
=
2
z
4
2
cos
x
996003838.039.png 996003838.040.png 996003838.041.png 996003838.042.png 996003838.043.png 996003838.044.png 996003838.045.png 996003838.046.png 996003838.047.png 996003838.048.png 996003838.049.png 996003838.050.png 996003838.051.png 996003838.052.png 996003838.053.png 996003838.054.png 996003838.055.png 996003838.056.png 996003838.057.png 996003838.058.png 996003838.059.png 996003838.060.png 996003838.061.png 996003838.062.png 996003838.063.png 996003838.064.png 996003838.065.png 996003838.066.png 996003838.067.png 996003838.068.png 996003838.069.png 996003838.071.png 996003838.072.png 996003838.073.png 996003838.074.png 996003838.075.png 996003838.076.png 996003838.077.png 996003838.078.png 996003838.079.png 996003838.080.png 996003838.082.png 996003838.083.png 996003838.084.png 996003838.085.png 996003838.086.png 996003838.087.png 996003838.088.png 996003838.089.png
 
ln(
2
x
5
+
9. Oblicz pochodnĢ funkcji
f
(
x
)
=
x
3
+
RozwiĢzanie: korzystamy z wzoru na pochodnĢ ilorazu dwch funkcji:
(
(
)
1
2
x
6
)
'
'
2
(
x
+
3
−
ln(
2
x
+
5
+
−
ln(
2
x
+
5
ln(
2
x
+
5
(
x
+
3
−
ln(
2
x
+
5
(
x
+
3
2
x
5
2
x
5
f
'
(
x
)
=
=
+
=
+
=
2
2
2
(
x
+
3
(
x
+
3
(
x
+
3
2
x
+
6
−
(
2
x
+
5
ln(
2
x
+
5
=
2
(
2
x
+
5
)(
x
+
3
Przy wyznaczaniu pochodnej funkcji licznika musieliĻmy skorzystaę z wzoru na pochodnĢ funkcji zþoŇonej.
10. Proszħ naszkicowaę wykres funkcji
f
(x
)
, o ktrej mamy nastħpujĢce informacje:
D:
x
R
−
{
f
)( =
x
= x
0
0
lim =
±
f
(
x
)
3
−
lim
x
f
(
x
)
=
+
lim
x
f
(
x
)
=
x
−
+
2
2
Z treĻci pytanie wiemy, Ňe prosta
=x jest asymptotĢ pionowĢ, a z granic jednostronnych w tym punkcie
znamy zachowanie funkcji po obu stronach asymptoty. Wiemy takŇe, Ňe w punkcie
2
x
=
0
wykres funkcji
przecina oĻ x-w (miejsce zerowe).
Z zapisu
lim =
±
f
(
x
)
3
wynika, Ňe prosta
y
3
jest asymptotĢ poziomĢ (zobacz zadanie 5). To sĢ
=
x
wystarczajĢce informacje dla naszkicowania wykresu tej funkcji.
2
x
11. Wyznacz przedziaþy monotonicznoĻci funkcji
f
(
x
)
=
x
3
+
RozwiĢzanie: zaczynamy od wyznaczenia pochodnej naszej funkcji:
2
2
2
2
2
x
(
x
+
3
−
x
1
2
x
+
6
x
−
x
x
+
6
x
x
(
x
+
6
f
'
(
x
)
=
=
=
=
2
2
2
2
(
x
+
3
(
x
+
3
(
x
+
3
(
x
+
3
Badamy, kiedy pochodna jest wiħksza od zera, a kiedy mniejsza od zera.
0
f
'
(
x
)
>
0
x
(
x
+
6
>
0
x
<
−
6
lub
x
>
xf
Przy rozwiĢzywaniu tych dwch nierwnoĻci korzystamy z wykresu funkcji kwadratowej o miejscach zerowych Î
6 i 0 oraz gaþħziach paraboli skierowanych do gry.
'
(
)
<
0
x
(
x
+
6
<
0
−
6
<
x
<
0
2
x
{
} )
Ostatecznie funkcja
f
(
x
)
jest rosnĢca dla
x
lu6 >
x
0
, a malejĢcĢ dla
x
6( −
−
−
3
(
3
. Z
=
<
−
x
3
+
uwagi na dziedzinħ funkcji musieliĻmy przedziaþ
<− x
6 <
0
przeksztaþcię na sumħ dwch przedziaþw.
996003838.090.png 996003838.092.png 996003838.093.png 996003838.094.png 996003838.095.png 996003838.096.png 996003838.097.png 996003838.098.png 996003838.099.png 996003838.100.png 996003838.101.png 996003838.103.png 996003838.104.png 996003838.105.png 996003838.106.png 996003838.107.png 996003838.108.png 996003838.109.png
 
12. W wyniku prowadzonego badania przebiegu zmiennoĻci funkcji uzyskano nastħpujĢcĢ tabelkħ:
x −
...
-1
...
0
...
1
... +
-
-
0
-
-
f
' x
)
-
+
0
-
+
f
'' x
(
)
0
Nie
istnieje
+
0
Nie
istnieje
+
f
(x
)
−
0
−
Proszħ naszkicowaę wykres tej funkcji.
AnalizujĢc informacje zawarte w podanej tabeli widzimy, Ňe badana funkcja ma asymptoty pionowe w punktach
−
=x wartoĻę funkcji jest zerowa.
Widzimy takŇe, Ňe granice tej funkcji w minus (plus) nieskoıczonoĻci sĢ skoıczone i rwne 0, co jak wiemy
oznacza, Ňe funkcja posiada asymptotħ poziomĢ o rwnaniu
x
oraz
x
1
. Widzimy takŇe, Ňe w punkcie
0
=
=
= y (zobacz zadanie 5).
Z analizy pierwszej pochodnej wynika, Ňe w caþej dziedzinie badana funkcja maleje (pierwsza pochodna
ujemna), z uwagi na rŇny znak drugiej pochodnej funkcja bħdzie miaþa albo ksztaþt wypukþy, albo wklħsþy.
Sþownie jej przebieg moŇna opisaę nastħpujĢcĢ (wartoĻci x-w rosnĢ od minus do plus nieskoıczonoĻci):
WartoĻci funkcji malejĢ od prawie zera do minus nieskoıczonoĻci po lewej stronie asymptoty
0
= x , przy czym
wykres funkcji jest wypukþy (druga pochodna ujemna). Po drugiej stronie asymptoty funkcja maleje od plus
nieskoıczonoĻci do zera, ktrĢ przyjmuje w
−
x
=
0
, po przekroczeniu zera dalej maleje aŇ do minus
nieskoıczonoĻci po lewej stronie asymptoty
x
1
. W przedziale
( −
1
1
funkcja najpierw ma ksztaþt wklħsþy, a
=
pŅniej wypukþy (druga pochodna jest dodatnia dla
x
(−
1
0
- ksztaþt wklħsþy i ujemna dla
x
(
0
1
- ksztaþt
wypukþy. Po drugiej stronie asymptoty
= x funkcja maleje od plus nieskoıczonoĻci do zera ksztaþtem wklħsþym.
Niezdarny szkic wykresu pokazany jest niŇej.
1
996003838.110.png 996003838.111.png 996003838.002.png 996003838.003.png 996003838.004.png 996003838.005.png 996003838.006.png 996003838.007.png 996003838.008.png 996003838.009.png 996003838.010.png 996003838.011.png 996003838.013.png 996003838.014.png 996003838.015.png 996003838.016.png 996003838.017.png 996003838.018.png 996003838.019.png 996003838.020.png 996003838.021.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin