Michał Chłędowski WYKŁADY Z AUTOMATYKI dla mechaników 43
2. OPIS MATEMATYCZNY CZŁONÓW I UKŁADÓW LINIOWYCH AUTOMATYKI
Pierwszym etapem syntezy układów automatycznej regulacji (UAR) jest ułożenie równań różniczkowych dla elementów wpływających funkcjonalnie na proces regulacji. Należą do nich: elementy wykonawcze, czujniki pomiarowe uchybu regulacji, bloki porównujące, wzmacniające itd. Mogą to być elementy elektryczne, mechaniczne, pneumatyczne lub hydrauliczne. Często bywają to elementy mieszane, np. pneumatyczno-elektryczne. Metodyka układania równań różniczkowych (tworzenia modeli fizycznych) ma charakter ogólny, niezależny od rodzaju elementu. Obowiązują przy tym pewne zasady jak i metody tworzenia tych modeli. Zostaną one szczegółowo omówione w tym wykładzie.
Analiza i synteza układów automatycznej regulacji wymaga znajomości właściwości statycznych i dynamicznych elementów wchodzących w skład tych układów. Właściwości te zawarte są w ich opisie matematycznym.
Opis matematyczny ciągłego elementu lub układu automatyki o jednym wejściu i jednym
wyjściu składa się w ogólnym przypadku z dwóch części:
1) równania lub wykresu charakterystyki statycznej, określającego zależność sygnału
wyjściowego od wejściowego w stanach ustalonych,
2) równania różniczkowego lub operatorowego, opisującego właściwości statyczne i dynamiczne w otoczeniu wybranego na charakterystyce statycznej punktu pracy.
Jeżeli charakterystyka statyczna jest prostoliniowa, jako kompletny opis właściwości elementu wystarczy podać równanie różniczkowe lub operatorowe, które opisuje wówczas właściwości statyczne i dynamiczne w całym zakresie pracy, a nie tylko w otoczeniu wybranego punktu.
Jeżeli charakterystyka statyczna jest krzywoliniowa, niezbędna jest znajomość obu części opisu, gdyż współczynniki równania różniczkowego są wówczas zmienne wzdłuż charakterystyki statycznej. Linearyzacja polega na zastąpieniu krzywoliniowego odcinka charakterystyki odcinkiem prostoliniowym, stycznym do rzeczywistej charakterystyki statycznej w wybranym punkcie. W przybliżeniu można wtedy traktować charakterystykę statyczną jako prostoliniową, a współczynniki równania różniczkowego jako stałe, w otoczeniu danego punktu.
Omawiane dalej metody opisu matematycznego elementów liniowych można więc rozciągnąć również na elementy linearyzowane.
Modelem matematycznym ciągłego jednowymiarowego elementu sterowania o stałych skupionych jest opisujące go równanie różniczkowe zwyczajne
(2.1)
Równanie to opisuje niestacjonarny, jednowymiarowy element nieliniowy. Gdy element jest stacjonarny to w równaniu (2.1) nie występuje bezpośrednia zależność od czasu. Gdy element jest liniowy względem sygnału wejściowego i względem zakłóceń z1, z2, ... , zl, równanie (2.1) jest liniową kombinacją sygnałów i ich pochodnych. Dla obiektu niestacjonarnego mamy wtedy
(2.2)
Przy czym:
są współczynnikami zależnymi od parametrów elementu.
Przez h, k, ..., q oznaczono dla sygnałów z1, z2, ..., zl najwyższy rząd pochodnych tych sygnałów występujących w równaniu (2.1).
W ciągłych stacjonarnych układach liniowych współczynniki przy poszczególnych wyrazach równania (2.2) są stałe (parametry układu nie ulegają zmianie w czasie):
(2.3)
W dalszym ciągu naszych rozważań będziemy zajmować się elementami jednowymiarowymi liniowymi stacjonarnymi o stałych skupionych – opisanych równaniami typu (2.3). Zależnie od warunków pracy takich elementów należy wyróżnić cztery następujące przypadki:
1. Na element działa zarówno sygnał sterujący, jak i sygnały zakłócające. Dynamikę elementu opisuje równanie (2.3).
2. Na element działa tylko sygnał sterujący, a wszystkie zakłócenia i ich pochodne są równe tożsamościowo zero. W takim przypadku dynamika elementu jest opisana równaniem
(2.4)
3. Na element nie działa sygnał sterujący (sygnał ten i jego pochodne są równe zero). Dynamikę elementu, na który działają tylko zakłócenia opisuje równanie
(2.5)
4. Na element nie działają żadne sygnały zewnętrzne – tzn., że sygnał sterujący i jego wszystkie pochodne oraz sygnały zakłócające i ich wszystkie pochodne są równe tożsamościowo zero. Równanie opisujące dynamikę elementu upraszcza się do postaci
(2.6)
Jest to równanie elementu (układu) w stanie swobodnym. Przez analogię do zjawisk w układach mechanicznych jest także nazywane równaniem ruchu swobodnego lub równaniem drgań własnych. Charakteryzuje ono zachowanie się obiektu po odjęciu wszelkich sygnałów zewnętrznych i ma istotne znaczenie przy badaniu właściwości obiektów stacjonarnych, ciągłych, liniowych o stałych skupionych.
Dalsze rozważania prowadzić będziemy w oparciu o ogólną postać równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach opisującego właściwości ciągłego elementu lub jednowymiarowego układu liniowego o parametrach stałych czyli stacjonarnego (rys. 1.2a):
(2.7)
przy czym n m dla wszystkich elementów i układów rzeczywistych. W równaniu tym przyjęto oznaczenia:
y - wielkość wyjściowa,
x – wielkość wejściowa (sygnał sterujący, zakłócenie),
t - czas,
ak, bl - współczynniki stałe (k = 0, 1, ... , n; l = 0, 1, ... , m).
Z równania (2.7) wynika charakterystyka statyczna (w stanie ustalonym wszystkie pochodne są równe zero)
(2.8)
przy czym dla elementów linearyzowanych jest to równanie stycznej do charakterystyki rzeczywistej, a jako początek układu współrzędnych (x = 0, y = 0) należy wówczas rozumieć punkt styczności, tzn. punkt pracy, wokół którego przeprowadzono linearyzację.
Przez układy liniowe rozumiemy takie układy, do których można zastosować zasadę superpozycji. Omawiać będziemy podstawowe równania obowiązujące dla liniowego zakresu pracy układów najczęściej spotykanych w urządzeniach automatyki, a więc układów: mechanicznych, elektrycznych, pneumatycznych i hydraulicznych.
Wyróżnimy trzy rodzaje elementów:
A. Elementy powodujące straty energii rozpraszanej na energię cieplną (tarcie, oporność czynna w układach elektrycznych, opór przepływu gazów i cieczy).
B. Elementy magazynujące energię w postaci kinetycznej (masa, indukcyjność w układach elektrycznych, bezwładność cieczy i gazów).
C. Elementy magazynujące energię w postaci potencjalnej (sprężystość, pojemność w układach elektrycznych, ściśliwość gazów, a w układach hydraulicznych napełnianie zbiorników).
Ograniczymy się tylko do liniowego zakresu pracy. Przyjmiemy więc, że np. w układach elektrycznych wartości oporności, indukcyjności i pojemności są stałe, niezależne od prądu i napięcia.
W przypadku układów mechanicznych założymy, że składają się z ciał idealnie sztywnych i sprężyn idealnych o znikomo małej masie, i że siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości w pierwszej potędze (tarcie lepkie).
Dla układów pneumatycznych przyjmiemy, że spadek ciśnienia na oporach przepływu jest proporcjonalny do przepływu, czyli że wartość oporu przepływu jest stała, niezależna od natężenia przepływu i ciśnienia, gaz zaś jest doskonale sprężysty, o stałej wartości współczynnika sprężystości.
Natomiast w układach hydraulicznych założymy, że ciecze są nieściśliwe, a spadek ciśnienia na oporach przepływu jest proporcjonalny do wielkości tego przepływu, czyli że opory przepływu mają wartości stałe, niezależne od natężenia przepływu i ciśnienia.
Elementy wymienione w punkcie A powodują przy przenoszeniu sygnałów straty zawartej w nich energii. Moc idąca na straty Ps określona jest wzorami:
w układach elektrycznych
Ps = i2 R (2.9)
gdzie: i - natężenie prądu elektrycznego [A], R - rezystancja [Ω],
w układach mechanicznych o ruchu postępowym
Ps = v2 Rm (2.10)
gdzie: v - prędkość ruchu postępowego [m/s], Rm - opór tarcia [kg/s],
w układach mechanicznych o ruchu obrotowym
Ps = 2 Rr (2.11)
gdzie: ω - prędkość kątowa [rad/s], Rr - opór tarcia w ruchu obrotowym [kg m2/s],
w układach pneumatycznych i hydraulicznych
(2.12)
gdzie: ip - natężenie przepływu [m3/s], Rp - opór przepływu [kg/m4s],
Elementy wymienione w punkcie B magazynują energię w postaci energii kinetycznej Ek, która określona jest wzorami:
(2.13)
gdzie: L – indukcyjność [H],
(2.14)
gdzie: m – masa [kg],
(2.15)
gdzie: J – moment bezwładności [kg m2],
(2.16)
gdzie: mp - masa płynu przepływającego przez jednostkę długości w jednostce czasu [kg m-1 s-1].
Elementy wymienione w punkcie C magazynują energię w postaci potencjalnej. Zmagazynowana w nich energia określana jest wzorami:
(2.17)
przy czym: q - ładunek elektryczny [C], C – pojemność [F],
(2.18)
gdzie: F – siła [N], C...
pawelpw