Interpolacja - pełne zagadnienie.pdf - metody numeryczne - xyzgeo

Interpolacja

W przedziale [a,b] danych jest n+1 różnych punktów x 0 ,x 1 ,x 2 ,...,x n

(węzły interpolacji) oraz wartości funkcji y=f(x) w tych punktach:

Interpolacja polega na wyznaczeniu przybliżonych wartości funkcji

w punktach nie będących węzłami oraz oszacowanie błędu przybliżonych

wartości. Problem interpolacji sprowadza się do znalezienia funkcji

interpolującej F(x), która w węzłach przyjmuje wartości takie jak

funkcja y=f(x).

Interpolacja

Interpolację można przeprowadzić przy pomocy:

a) wielomianów algebraicznych

b) wielomianów trygonometrycznych

c) funkcji sklejanych

Ad a) Interpolacja za pomocą wielomianów

Twierdzenie

Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej

n ( n ≥ 0 ), który w punktach x 0 ,x 1 ,x 2 ,...,x n przyjmuje wartości y 0 ,y 1 ,y 2 ,...,y n

Dowód

n+1 węzłów rozmieszczonych jest w dowolny sposób w [a,b]. Szukamy

wielomianu interpolacyjnego w postaci:

Interpolacja

Podstawiając do W n ( x ) kolejno x 0 ,x 1 ,x 2 ,...,x n dostajemy układ

n+1 równań na a i :

Macierz współczynników układu:

Interpolacja

Wyznacznik macierzy

Jest wyznacznikiem Vandermode'a:

Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie:

D ij są dopełnieniami

algebraicznymi

Interpolacja

Wzór interpolacyjny Lagrange'a.

Podstawiając:

a grupując składniki y i :

Zauważmy że dla dowolnego x i zachodzi zależność:

skąd wynika:

Interpolacja - pełne zagadnienie.pdf