AFskrypt(3).pdf

Projekt pn. „ Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych ”

realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

Analiza funkcjonalna

Wykłady

Mariusz Lemańczyk

Toruń 2011

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

WSTP

Niniejszy skrypt jest zapisem semestralnego wykładu z analizy funkcjonalnej prowadzonego przeze

mnie na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK dla studentów kierunku Matematyka. Skrypt jest

podzielony na pi¦tna±cie cz¦±ci (wykładów) odpowiadaj¡cych dwugodzinnym zaj¦ciom, co nie zawsze od-

powiada tematycznemu podziałowi na poszczególne zagadnienia. Na ko«cu doł¡czony został przykładowy

test egzaminacyjny.

WYKŁADI

Niech X b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciałem liczb zespolonych C (lub ciałem liczb rzeczywistych

R). Jednocze±nie niech X b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡ z metryk¡ d .

Deﬁnicja. Metryk¦ d nazywamy przesuwaln¡ , je»eli dla ka»dych x,y,z 2 X zachodzi warunek

d ( x + z,y + z ) = d ( x,y ) .

Uwaga. Je»eli d jest metryk¡ przesuwaln¡, to odwzorowanie T x ( y ) = x + y jest homeomorﬁzmem.

Rzeczywi±cie, niech lim n !1 y n = y . Wówczas

n !1 d ( T x ( y n ) ,T x ( y )) = lim

lim

n !1 d ( x + y n ,x + y ) = lim

n !1 d ( y n ,y ) = 0 .

Ponadto odwzorowanie ( T x ) − 1 = T − x te» jest ci¡głe.

Uwaga. Je»eli d jest metryk¡ przesuwaln¡, to odwzorowanie k·k : X ! R okre±lone wzorem k x k = d ( x, 0)

ma dla dowolnych x,y 2 X nast¦puj¡ce własno±ci:

(1) k x k = 0 , x = 0,

(2) k x k = k− x k ,

(3) k x + y k¬k x k + k y k .

Warunek (1) jest oczywisty. Warunek (2) wynika z równo±ci

d ( − x, 0) = d ( − x + x, 0 + x ) = d (0 ,x ) = d ( x, 0) .

Natomiast warunek (3) zachodzi, gdy»

d ( x + y, 0) = d ( x, − y ) ¬ d ( x, 0) + d (0 , − y ) = d ( x, 0) + d ( y, 0) .

Deﬁnicja. Ka»de odwzorowanie k·k : X ! R spełniaj¡ce własno±ci (1)–(3) nazywamy F- norm¡ .

Uwaga. Je±li odwzorowanie k·k : X ! R jest F-norm¡, to wzór

d ( x,y ) = k x − y k

deﬁniuje metryk¦ przesuwaln¡ na X , która indukuje F-norm¦ równ¡ wyj±ciowej F-normie k·k .

Rzeczywi±cie, z warunku (1) mamy

d ( x,y ) = 0 ,k x − y k = 0 , x = y.

Z kolei z (2) wynika, »e

d ( x,y ) = k x − y k = k− ( x − y ) k = d ( y,x ) .

Natomiast (3) implikuje

d ( x,y ) = k x − z + z − y k¬k x − z k + k z − y k = d ( x,z ) + d ( z,y )

dla dowolnych x,y,z 2 X .

Uwaga. Je»eli d jest metryk¡ przesuwaln¡ na X , to działanie + : X × X ! X jest ci¡głe.

Rzeczywi±cie, je»eli lim n !1 x n = x i lim n !1 y n = y , to poniewa»

d ( x n + y n ,x + y ) ¬ d ( x n + y n ,x n + y ) + d ( x n + y,x + y ) = d ( y n ,y ) + d ( x n ,x ) ,

otrzymujemy lim n !1 ( x n + y n ) = x + y .

Oczywi±cie narzuca si¦ w tym momencie pytanie o ci¡gło±¢ działania mno»enia przez skalar.

Przykład. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ z F-norm¡ dan¡ wzorem

( 0 , gdy x = 0 ,

1 , gdy x 6 = 0 .

k x k =

Powy»sza F-norma wyznacza metryk¦ dyskretn¡. Zauwa»my, »e dla x 6 = 0 mamy k n x k = 1. St¡d ci¡g

n x 1

nie jest zbie»ny do 0. Zatem w tym przykładzie działanie mno»enia przez skalar nie jest ci¡głe.

n =1

Deﬁnicja. Przestrze« X nazywamy liniowo-metryczn¡ , gdy odwzorowania

+ : X × X ! X, · : C × X ! X ( · : R × X ! X )

s¡ ci¡głe.

Uwaga. Je»eli przestrze« X jest liniowo-metryczna, to dla s 6 = 0, s 2 C, odwzorowanie

M s : X ! X, M s x = s · x

jest homeomorﬁzmem.

Deﬁnicja. F-norm¦ k·k : X ! R nazywamy norm¡ , gdy

k x k = | |·k x k

dla wszystkich 2 C (R) i x 2 X . Je±li metryka d na X jest zadana przez norm¦, to przestrze« X

nazywamy przestrzeni¡ unormowan¡ .

Uwaga. Ka»da przestrze« unormowana jest przestrzeni¡ liniowo-metryczn¡.

Sprawd¹my, »e zachodzi ci¡gło±¢ mno»enia przez skalar. Niech lim n !1 n = , lim n !1 x n = x . Wówczas

k n x n − x k¬k n x n − n x k + k n x − x k = | n |·k x n − x k + | n − |·k x k! 0 .

Deﬁnicja. Przestrzeni¡ unitarn¡ (nad C) nazywamy przestrze« liniow¡ X z zadanym na niej iloczynem

skalarnym, tzn. odwzorowaniem h· , ·i : X × X ! C spełniaj¡cym dla dowolnych x,x 1 ,x 2 ,y,y 1 ,y 2 2 X ,

1 , 2 , 1 , 2 2 C warunki:

(a) h x,x i 0 oraz h x,x i = 0 , x = 0,

(b) h 1 x 1 + 2 x 2 ,y i = 1 h x 1 ,y i + 2 h x 2 ,y i ,

Uwaga. W przestrzeni unitarnej X dla dowolnych x,y 2 X mamy

h x,y i = h y,x i .

Istotnie, niech h x,y i = a + ib , h y,x i = a 0 + ib 0 . Wówczas

0 ¬h x + y,x + y i = h x,x i + h x,y i + h y,x i + h y,y i2 R .

St¡d a + ib + a 0 + ib 0 2 R, czyli b = − b 0 . Ponadto

0 ¬h x + iy,x + iy i = h x,x i− i h x,y i + i h y,x i + h iy,iy i2 R .

St¡d − i ( a + ib ) + i ( a 0 + ib 0 ) = b − b 0 + i ( − a + a 0 ) 2 R, czyli a = a 0 .

We¹my teraz t 2 R. Wówczas

0 ¬h x + ty,x + ty i = h x,x i + 2 t Re h x,y i + t 2 h y,y i .

Otrzymali±my wielomian zmiennej t o współczynnikach rzeczywistych, który przyjmuje jedynie warto±ci

nieujemne, wi¦c

= 4(Re h x,y i ) 2 − 4 h x,x ih y,y i¬ 0 .

Zatem dla dowolnych x,y 2 X

(Re h x,y i ) 2 ¬h x,x ih y,y i .

Załó»my, »e h x,y i6 = 0. Je±li w ostatniej nierówno±ci podstawimy za y wektor h x,y i

|h x,y i| y , to

h x,y i

x, h x,y i

|h x,y i| y, h x,y i

|h x,y i| y

¬h x,x i

|h x,y i| y

St¡d

! 2

Re h x,y i

¬h x,x i h x,y i

|h x,y i|

h x,y i

|h x,y i| h y,y i .

|h x,y i| h x,y i

W ten sposób udowodnili±my nierówno±¢ Schwarza

|h x,y i| 2 ¬h x,x ih y,y i

dla dowolnych x,y 2 X . Zdeﬁniujmy

k x k = p h x,x i .

Mamy zatem

|h x,y i|¬k x k·k y k .

Odwzorowanie k·k : X ! R jest norm¡. Sprawd¹my jedynie, czy zachodzi nierówno±¢ trójk¡ta

k x + y k 2 = h x + y,x + y i = h x,x i + 2 Re h x,y i + h y,y i¬k x k 2 + 2 k x k·k y k + k y k 2 = ( k x k + k y k ) 2 .

Wniosek. Ka»da przestrze« unitarna jest przestrzeni¡ unormowan¡. W szczególno±ci jest ona przestrze-

ni¡ liniowo-metryczn¡.

Przypomnijmy, »e je±li X jest przestrzeni¡ liniow¡, to podzbiór K X nazywamy wypukłym, gdy

( 8 x 1 ,x 2 2 K ) ( 8 0 ¬ t ¬ 1) tx 1 + (1 − t ) x 2 2 K.

Natomiast podzbiór B X nazywamy symetrycznym , gdy z warunku x 2 B wynika, »e − x 2 B .

Załó»my, »e X jest przestrzeni¡ liniowo-metryczn¡.

Deﬁnicja. Podzbiór A X nazywamy ograniczonym , gdy dla dowolnego ci¡gu ( x n ) n =1 elementów z

A i dowolnego ci¡gu ( n ) n =1 liczb zespolonych (rzeczywistych) z warunku lim n !1 n = 0 wynika, »e

lim n !1 n x n = 0.

Uwaga. Je±li X jest przestrzeni¡ unormowan¡, to zbiór A X jest ograniczony (w sensie liniowo-

metrycznym) wtedy i tylko wtedy, gdy

( 9 M 0) ( 8 x 2 A ) k x k¬ M.

Implikacja ( jest oczywista. Z drugiej strony załó»my, »e istnieje ci¡g ( x n ) n =1 elementów zbioru A taki,

»e k x n k n 2 . We¹my n =

n . Wtedy nie jest prawd¡, »e granica ci¡gu ( n x n ) n =1 jest równa zero.

Uwaga. Nich X b¦dzie przestrzeni¡ liniowo-metryczn¡, x 2 X , x 6 = 0, lim n !1 t n = 1 . Wówczas zbiór

A = { t n x ; n 1 }

nie jest ograniczony. W szczególno±ci półproste nie s¡ zbiorami ograniczonymi.

Istotnie, bior¡c n =

t n , mamy n ( t n x ) = x 9 0.

Przykład. W przestrzeni unormowanej X kula jednostkowa { x 2 X ; k x k < 1 } jest zbiorem otwartym,

wypukłym, symetrycznym i ograniczonym.

Deﬁnicja. Mówimy, »e dwie metryki d , na zbiorze X s¡ równowa»ne, gdy dla ka»dego ci¡gu ( x n ) n =1

elementów z X , lim n !1 x n = x wzgl¦dem metryki d wtedy i tylko wtedy, gdy lim n !1 x n = x wzgl¦dem

metryki .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: