Kotłowska M - Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.pdf
(
432 KB
)
Pobierz
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/strict.dtd">
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Maria Kotłowska
Przedmiot rachunku prawdopodobieństwa –
ścisłe ujęcie
częstościowego
bądź też statystycznego sensu słowa
prawdopodobnie.
Pojęcie prawdopodobieństwa
łączymy z reguły z wynikiem
obserwacji lub eksperymentu bądź to rzeczywistego bądź to
myślowego.
W rachunku prawdopodobieństwa możliwy wynik eksperymentu, o
którego prawdopodobieństwie chcemy mówić nazywamy
zdarzeniem.
Zdarzenia elementarne
utożsamiamy z elementami pewnego
podstawowego zbioru, reprezentującego pojedyncze, elementarne,
nierozkładalne na drobniejsze części wyniki rozpatrywanego
eksperymentu.
Przestrzeń
zdarzeń elementarnych –
zbiór elementów stanowiących
wszystkie elementarne, niepodzielne wyniki doświadczeń czy
obserwacji. Oznaczamy ją literą
Ω,
a jej elementy zwane
zdarzeniami
elementarnymi
literą ω, ewentualnie
ze
wskaźnikiem
.
Ogólnie zdarzeniami
w teorii prawdopodobieństwa nazywamy
podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych czyli zbiory zdarzeń
elementarnych.
1
DZIAŁANIA NA ZDARZENIACH
1.
Sumą
dwóch zdarzeń
A i B
nazywamy zdarzenie
C
złożone z tych
wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą co najmniej do
jednego ze zdarzeń
A , B ,
co oznaczamy;
A
∪
B = C
Sumowanie uogólnia się na dowolną liczbę składników.
Tak więc sumą
n
zdarzeń
A
1
,A
2
,.....,A
n
nazywamy zdarzenie
n
C
=
A
∪
A
∪
....
∪
A
=
∪
A
1
2
n
i
i
=
1
złożone z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą co
najmniej do jednego ze zdarzeń
A
1
,A
2
,.....,A
n
.
Podobnie definiujemy sumę nieskończonego ciągu zdarzeń.
2.
Iloczynem
dwóch zdarzeń
A i B
nazywamy zdarzenie
C
złożone z
tych zdarzeń elementarnych, które są zawarte jednocześnie i w
A
i w
B
, co oznaczamy:
A
∩
B = C
Iloczyn większej ilości zdarzeń
n
C
=
A
∩
A
∩
......
∩
A
=
∩
A
1
2
n
i
i
=
1
to zdarzenie
C
złożone z tych wszystkich zdarzeń elementarnych ,
które należą jednocześnie do każdego ze zdarzeń
A
1
,A
2
,....,A
n
.
Podobnie definiujemy iloczyn nieskończonego ciągu zdarzeń.
3.
Różnicą
dwóch zdarzeń
A
i
B
nazywamy zdarzenie
C
złożone z
tych zdarzeń elementarnych, które należą do zdarzenia
A
, ale nie
należą do zdarzenia
B
, co oznaczamy
A|B = C
2
4.
Dopełnieniem
zdarzenia
A
nazywamy zdarzenie
B
złożone z tych
wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie należą do zdarzenia
A
.
Dopełnienie
oznaczamy
A`
;
A` = B
oznacza, że
B
jest dopełnieniem
A`
.
5.
Zdarzenie pewne
– to cala przestrzeń Ω zdarzeń elementarnych
(reprezentuje wszystkie możliwe wyniki eksperymentu, a więc musi
się zdarzyć wynik należący do Ω).
6.
Zdarzenie niemożliwe
– oznaczymy przez
Ø
, czyli
A = Ø
jest
zdarzeniem niemożliwym, a więc nie zawiera żadnego zdarzenia
elementarnego.
7. Zdarzenia
A
i
B
są
rozłączne
wtedy, gdy ich iloczyn jest
zdarzeniem niemożliwym,
A
∩
B =Ø ,
co oznacza, że
A
i
B
nie
zawierają wspólnych zdarzeń elementarnych.
8. Zdarzenie
A
zawiera się
w zdarzeniu
B
wtedy, gdy jeśli realizuje
się zdarzenie
A
, to realizuje się zdarzenie
B
. Oznaczamy
A
⊂
B
, czyli
wszystkie zdarzenia elementarne zawarte w
A
są jednocześnie zawarte
w zdarzeniu
B
.
9.
A
∪
A` =
Ω , suma zdarzenia
A
i jego dopełnienia
A`
jest
zdarzeniem pewnym Ω.
10.
A
∩
A` = Ø,
iloczyn zdarzenia
A
i jego dopełnienia
A`
jest
zdarzeniem niemożliwym, czyli są to zdarzenia rozłączne.
11.
A
∪
A = A
A
∩
A = A
(
A`
)
` = A
12.
A
|
B = A
∩
B`
, co oznacza, że każde zdarzenie elementarne
należące do
A
i
B`
nie należy do
B.
Związki między dodawaniem i mnożeniem zdarzeń opisują równości
zwane
prawami de Morgana.
3
′
(
)
1
A
∪
B
=
A
′
∩
B
′
′
(
)
′
′
A
∩
B
=
A
∪
B
′
′
′
′
(
)
2
A
∪
A
∪
....
∪
A
=
A
∩
A
∩
....
∩
A
1
2
n
1
2
n
′
′
′
′
(
)
A
∩
A
∩
...
∩
A
=
A
∪
A
∪
....
∪
A
1
2
n
1
2
n
′
′
′
(
)
3
A
∪
A
∪
.....
=
A
∩
A
∩
....
1
2
1
2
′
′
′
(
)
A
∩
A
∩
.....
=
A
∪
A
∪
....
1
2
1
2
Z powyższych praw wynikają następujące związki:
′
(
)
1
A
∪
B
=
A
′
∩
B
′
′
(
)
A
∩
B
=
A
′
∪
B
′
′
′
′
′
⎛
⎞
2
A
∪
A
∪
...
∪
A
=
A
∩
A
∩
...
∩
A
⎝
⎠
1
2
n
1
2
n
′
′
′
′
⎛
⎞
A
∩
A
∩
....
∩
A
=
A
∪
A
∪
...
∪
A
⎝
⎠
1
2
n
1
2
n
′
′
′
⎛
⎞
3
A
∪
A
∪
....
=
A
∩
A
∩
...
⎝
⎠
1
2
1
2
′
′
′
⎛
⎞
A
∩
A
∩
....
=
A
∪
A
∪
...
⎝
⎠
1
2
1
2
4
A
∪
Ω
=
Ω
4
5. Jeżeli
A
⊂
B
, to
A
∩
Ø = Ø
6.
Ø
∩
Ø = Ø
7.
Ø` =
Ω ,
Ω
` = Ø
Zbiór wszystkich zdarzeń nazywamy ciałem zdarzeń i oznaczamy
S
.
Jednak nie każdy zbiór zdarzeń elementarnych możemy uważać za
zdarzenie i zaliczyć do zbioru
S
.
Wiąże się to z istnieniem przestrzeni
nieprzeliczalnych. Dlatego w ogólnej teorii zamiast mówić o
zdarzeniach
po prostu jako o
podzbiorach przestrzeni zdarzeń
elementarnych mając na myśli wszystkie takie podzbiory, wprowadza
się zbiór
S
wszystkich zdarzeń i formułuje się jedynie postulaty co do
domknięcia zbioru
S
ze względu na pewne działania na zdarzeniach.
Postulaty dotyczące zbioru
S
wszystkich zdarzeń
1
. Dopełnienie
A`
każdego zdarzenia
A
jest zdarzeniem, czyli jeżeli
A
∈
S
⇒
A`
∈
S.
2
. Suma
każdego skończonego lub przeliczalnego zbioru zdarzeń
A
i
jest zdarzeniem, czyli jeśli dla każdego
i
przebiegającego zbiór
skończony lub przeliczalny,
A
i
∈
S
⇒
∪
A
i
∈
S.
i
Z powyższych postulatów wynikają następujące twierdzenia:
1
.
Zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe są elementami zbioru
S
,
czyli jeśli
Ω
∈
S
∧
Ø
∈
S.
2
.
Iloczyn dwóch zdarzeń jest zdarzeniem, czyli jeśli
A
∈
S
∧
B
∈
S
⇒(
A
∩
B
)
∈
S
.
3
.
Iloczyn skończenie lub przeliczalnie wielu zdarzeń jest
zdarzeniem, czyli jeśli dla skończenie lub przeliczalnie wielu
i
mamy
A
i
∈
S
⇒∩
A
i
∈
S.
i
5
Plik z chomika:
Kid_A
Inne pliki z tego folderu:
Miszczyński M - Statystyka.7z
(3321 KB)
Kamys B - Teoria prawdopodobieństwa i statystyka dla fizyki komputerowej.pdf
(758 KB)
Kamys B - Tablice podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (kwantyle).pdf
(262 KB)
Boratyńska A - Wykłady ze statystyki matematycznej.pdf
(351 KB)
Kotłowska M - Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.pdf
(432 KB)
Inne foldery tego chomika:
Audiobooki
Dokumenty
E-books
Galeria
MAZDA 6
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin