mech-dyn01.pdf

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna. Usługi edukacyjne przez Internet.

Rozwiązywanie zadań, pisanie prac.

http://www.wszechwiedza.pl

tel. 0 – 44 738 00 00

tel. kom. 799 079 789

e-mail: biuro@wszechwiedza.pl

Zadanie

Mając w punkcie A prędkość v A , motocykl (rys. 1) porusza się  [s] na odcinku ∣ AB ∣= l ,

tworzących z poziomem kąt  . Gdy siła P , powodująca ruch, jest stała na całym odcinku AB ,

motocykl osiąga w punkcie B prędkość v B i przelatuje przez rów o szerokości d , znajdując się

w powietrzu T [s] i ląduje w punkcie C z prędkością v C . Masa motocykla z motocyklistą jest

równa m .

Rozwiązując zadanie przyjąć motocykl z motocyklistą za punkt materialny i pominąć opory ruchu.

Rysunek 1

Dane:

=30 o

P ≠0

l =40 m

v A =0

v B =4 m

d =3 m

Obliczyć:

 , h

- 1 -

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna. Usługi edukacyjne przez Internet.

Rozwiązywanie zadań, pisanie prac.

http://www.wszechwiedza.pl

tel. 0 – 44 738 00 00

tel. kom. 799 079 789

e-mail: biuro@wszechwiedza.pl

Rozwiązanie

Rozpatrzmy ruch motocykla na odcinku AB . Na punkt materialny (za który uważamy motocykl

wraz z motocyklistą) działają na tym odcinku siła ciężkości G oraz reakcja normalna N (rys. 2).

Dynamiczne równania ruchu motocykla na odcinku AB:

{ m ¨ x 1 = X 1

m ¨ y 1 = Y 1

przy czym: ¨ y 1 =0

(motocykl porusza się tylko w kierunku x 1

). Zatem:

{ m ¨ x 1 = X 1

0= Y 1

Sumy rzutów sił w poszczególnych kierunkach układu współrzędnych x 1 y 1

wynoszą:

X 1 = P − G sin

Y 1 = N − G cos

do tego z zależności pomiędzy masą a ciężarem w polu grawitacyjnym Ziemi:

G = mg

wobec tego układ różniczkowych równań ruchu ma postać:

- 2 -

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna. Usługi edukacyjne przez Internet.

Rozwiązywanie zadań, pisanie prac.

http://www.wszechwiedza.pl

tel. 0 – 44 738 00 00

tel. kom. 799 079 789

e-mail: biuro@wszechwiedza.pl

{ m ¨ x 1 = P − mg sin

N − mg cos=0

stąd:

¨ x 1 = P

m − g sin

(ruch odbywa się tylko wzdłuż osi x 1

, więc oś y 1

nie interesuje nas).

całkujemy powyższe równanie dwukrotnie.

Pierwsza całka:

 P m − g sin  ⋅ t

˙ x 1 = C 1 

i druga całka:

 P m − g sin  ⋅ t 2

x 1 = C 2  C 1 t  1

2 ⋅

stałe całkowania obliczamy z warunków początkowych:

x 1 0=0

(bo za chwilę początkową rozważań przyjmujemy punkt A - początek układu x 1 y 1

)

stąd:

C 2 =0

˙ x 1 0= v 0= v A =0

stąd:

C 1 =0

Wobec tego:

 P m − g sin  ⋅ t

˙ x 1 =

 P m − g sin  ⋅ t 2

W chwili t = , tj. gdy motocykl opuszcza odcinek AB mamy:

x 1 = 1

2 ⋅

˙ x 1 = v B x 1 = l

a zatem:

- 3 -

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna. Usługi edukacyjne przez Internet.

Rozwiązywanie zadań, pisanie prac.

http://www.wszechwiedza.pl

tel. 0 – 44 738 00 00

tel. kom. 799 079 789

e-mail: biuro@wszechwiedza.pl

{  P m − g sin  ⋅= v B

 P m − g sin  ⋅ 2 = l

2 ⋅

z powyższego układu równań wyznaczyć możemy P (która to wartość nie interesuje nas) oraz  .

obliczamy:

{  P m − g sin  = v B 

 P m − g sin  ⋅ 2 = l

2 ⋅

2 ⋅ v B

 ⋅ 2 = l

2 ⋅ v B ⋅= l

= 2 l

v B

= 2⋅40

4,5

= 17,78 s

Na odcinku BC, który ma charakter swobodnego spadku z prędkością początkową (rzutu

ukośnego), jedyną działającą siłą jest G = mg . Równania ruchu (w układzie xy ) są teraz

następujące:

{ m ¨ x =0

m ¨ y =− mg

Po uproszczeniu masy:

{ ¨ x =0

¨ y =− g

Po pierwszym całkowaniu:

{ ˙ x = C 1

˙ y = D 1 − gt

po drugim:

- 4 -

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna. Usługi edukacyjne przez Internet.

Rozwiązywanie zadań, pisanie prac.

http://www.wszechwiedza.pl

tel. 0 – 44 738 00 00

tel. kom. 799 079 789

e-mail: biuro@wszechwiedza.pl

{

x = C 2  C 1t

y = D 2  D 1 t − 1

2 ⋅ gt 2

Warunki początkowe:

x 0=0 y 0=0

- stąd:

C 2 =0 D 2 =0

˙ x 0= v x 0= v B cos ˙ y 0= v y 0= v B sin

stąd:

C 1 = v B cos D 1 = v B sin

Zatem położenie punktu określają równania:

{

x = v B t cos

y = v B t sin− 1

2 ⋅ gt 2

a jego prędkość:

{ ˙ x = v B cos

˙ y = v B sin− gt

Po upływie czasu  1

(czas na dotarcie do punktu C ) będziemy mieli:

{

v B  1 cos= d

v B  1 sin− 1

2 ⋅ g  2 =− h

{

 1 = d

v B cos

v B  1 sin− 1

2 ⋅ g  2 =− h

 d



v B d

v B cos sin− 1

2 ⋅ g

=− h

v B cos

 d

v B cos 

h = 1

2 ⋅ g

− dtg 

- 5 -

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: