Źle z matematyki. Argumenty, nr 36(430), 1966.pdf

http://autonom.edu.pl

Mazur Marian, 1966, Źle z matematyki . Argumenty, nr 36 (430), rok X, 4 września,

Warszawa, s. 5 i 10. W artykule brak informacji o cyklu „O szkole cybernetycznie”.

Przepisał: Mirosław Rusek ( mirrusek@poczta.onet.pl ), wytłuszczenia w tekście od Autora.

Gdyby zaproponować, żeby programy nauczania matematyki były opracowywane

przez nauczycieli humanistów, np. historyków, polonistów itp., to najprawdopodobniej

sprzeciwiliby się temu sami humaniści, w przeświadczeniu, że opracowane przez nich

programy byłyby do niczego. Niewątpliwie sprzeciwiliby się temu również nauczyciele

matematyki, zresztą z tego samego powodu. Można bez żadnego ryzyka wyrazić

przypuszczenie, że gdyby nauczyciele humaniści mieli opracować program nauczania

matematyki w oparciu o ich własną wiedzę w tej dziedzinie, to wątpliwe jest, czy program ten

wykraczałby poza tabliczkę mnożenia i cztery działania arytmetyczne.

I tu dotykamy kapitalnej sprawy. Okazuje się, że można być dobrym nauczycielem

historii, języka polskiego, języków obcych i wielu innych przedmiotów, nie mając pojęcia

o pierwiastkach równań, tangensach, logarytmach i różnych innych zmorach

matematycznych. To samo można by powiedzieć o wielu innych zawodach, np. literatach 1) ,

muzykach, malarzach, dziennikarzach, prawnikach. Skoro tak, to można by zapytać, po co

naucza się w szkole matematyki.

Na to pytanie otrzymuje się zwykle odpowiedź, że matematyka uczy metod

rozumowania. To prawda, ale chyba nie ta matematyka, której się naucza w szkole. Ani

sposób, ani zakres jej nauczania na pewno do tego nie prowadzą. Gdyby zażądać od

dowolnego maturzysty, żeby wymienił metody rozumowania, których go nauczono na

lekcjach matematyki, to obawiam się, że jedyną jego reakcją byłoby przerażenie. I nic

dziwnego, ponieważ metody matematyczne w szkole, to mitologia. W rzeczywistości szkolne

zadania matematyczne są w przeważającym stopniu zagadkami. Aby je rozwiązać, trzeba

wpaść na pomysł. Na przykład, przy wyprowadzaniu wzoru na bok dziesięciokąta foremnego

trzeba wykorzystać okoliczność, że kąt przy wierzchołku elementarnego trójkąta wynosi 36 0 ,

a więc kąty przy podstawie wynoszą po 72 stopnie. Jeśli się przeprowadzi dwusieczną

jednego z nich, to powstaną dwa trójkąty podobne, z której to okoliczności wynika wzór na

bok

dziesięciokąta.

Gdyby

jednak

uczeń

chciał

zastosować

podobny

sposób

W oryginalnym tekście jest błędnie podany wyraz „literach” – uwaga M. R.

dziewięciokąta lub jedenastokąta, lub też do jakiegokolwiek innego wielokąta foremnego, to

do niczego nie dojdzie. Gdzież więc tu metoda?

Jeśli uznać, że szukanie pomysłów jest kształcące, to równie (a może bardziej)

kształcące jest rozwiązywanie szarad i rebusów w dziale rozrywek umysłowych w różnych

czasopismach, nie mówiąc już o grze w szachy lub brydża.

No dobrze, powie ktoś, ale przecież wśród uczniów są również tacy, którzy zechcą

pójść na studia matematyczne lub fizyczne czy też na politechnikę. Ci chyba powinni umieć

sporo z algebry, geometrii czy trygonometrii. Gdzież mieli by się tego nauczyć?

To bardzo prosta sprawa. Trzeba dla nich po ukończeniu szkoły średniej zorganizować

wstępny rok studiów na wyższych uczelniach. Rozwiązanie takie miałoby mnóstwo zalet.

Po pierwsze, odpadłaby potrzeba urządzania egzaminów konkursowych z ich

przypadkowościami i niesprawiedliwościami, jako że o wiele lepszym sprawdzianem

przydatności kandydatów byłyby oceny uzyskane przez nich na owym wstępnym roku

studiów.

Po drugie, można by skrócić czas nauczania w szkole średniej dzięki redukcji

programu nauczania matematyki, a jak wiadomo jest to przedmiot najczęściej hamujący

przechodzenie z klasy do klasy.

Po trzecie, wstępny rok studiów mógłby obejmować tak obszerny program, na jaki

w szkole ogólnokształcącej trzeba przeznaczać kilka lat. Byłoby to możliwe dzięki temu, że

na wstępny rok studiów zgłosiliby się maturzyści mający zamiłowanie i zdolności do

matematyki, podczas gdy w szkole średniej tempo nauczania matematyki musi być

dostosowane do uczniów o przeciętnych zdolnościach do tego przedmiotu. Nie bez znaczenia

jest też okoliczność, że na wstępnym roku studiów znalazłaby się młodzież starsza, a więc

poważniej traktująca sprawy zdobywania tej trudnej wiedzy. Na dowód tego można

przytoczyć, że student politechniki w ciągu jednego roku opanowuje rachunek różniczkowy

i całkowy.

Tylko patrzeć, jak przeciw takiemu rozwiązaniu zostanie wysunięty ulubiony

argument pseudoekonomistów: „nie stać nas na to”. Co wart jest ten argument, łatwo się

przekonać stosując elementarne obliczenie. W klasie maturalnej, liczącej przeciętnie 30

uczniów, na studia matematyczne lub techniczne wybiera się zwykle jeden lub dwóch

uczniów – no powiedzmy, trzech (to dla tych trzech zamęcza się matematyką pozostałych

dwudziestu siedmiu!), czyli co najwyżej 10 proc. Aby na wstępnym roku studiów utworzyć

klasę złożoną z 30 uczniów, trzeba by wybrać po 3 chętnych z 10 szkół 2) , to zaś oznacza, że

na wstępnym roku studiów jeden nauczyciel matematyki zrobiłby to, co obecnie robi 10

nauczycieli (w 10 szkołach). Jeśli przy tym wziąć pod uwagę, że nauczanie matematyki na

wstępnym roku studiów mogłoby obejmować program ostatnich trzech lat obecnej szkoły

ogólnokształcącej (dzięki okolicznościom omówionym powyżej), to w proponowanym

rozwiązaniu jeden nauczyciel zastąpiłby trzydziestu. Czy rzeczywiście nie stać nas na

zmniejszenie kosztów ze 100 proc. do 3 proc? W przemyśle takie zmniejszenie kosztów jest

niedościgłym marzeniem, a dla zaoszczędzenia choćby paru procent tworzy się instytuty

naukowo-badawcze i wyposaża w kosztowne laboratoria.

Dodajmy też, że korzyści nie ograniczyłyby się do oszczędności na kosztach

nauczania. Odczuwamy przecież deficyt nauczycieli matematyki, gdyż dyscyplina ta

odstrasza swoją trudnością wielu kandydatów, a przy tym zdolniejsi matematycy wolą po

ukończeniu studiów pracować (i lepiej zarabiać) w przemyśle, gdzie rozwój zastosowań

maszyn matematycznych otworzył im nie znane dawniej możliwości, niż uczyć matematyki

w szkole. Nie mówiąc już o tym, że nauczyciel matematyki na wstępnym roku studiów

mógłby mieć już status asystenta wyższej uczelni, doktoryzować się itp., a to jest bardziej

atrakcyjne niż etat nauczyciela w szkole średniej. Dochodzi więc dodatkowa korzyść

polegająca na tym, że na wstępnym roku studiów matematyka byłaby nauczana przez

zdolniejszych nauczycieli, a więc skuteczniej.

Nie zmierzam bynajmniej do zubożenia treści nauczania matematyki w szkole.

Przeciwnie, chodzi mi o jej wzbogacenie informacjami użytecznymi dla wszystkich,

z jednoczesną redukcją szumu informacyjnego oraz przeniesieniem gdzie indziej informacji

mogących mieć użyteczność tylko dla nielicznych.

Na przykład można by z powodzeniem usunąć ze szkoły średniej zadania na

logarytmowanie (ograniczając się tylko do objaśnienia jego zasad). Na zdobywanie wprawy

w logarytmowaniu zużywa się w szkole mnóstwo czasu, a przecież dla 90 proc. uczniów jest

to umiejętność najzupełniej bezużyteczna. Zresztą i pozostałym 10 proc., wybierającym się na

studia techniczne, jest ona mało przydatna, gdyż wszelkie obliczenia wykonuje się tam za

pomocą suwaka rachunkowego zwanego wprawdzie „logarytmicznym”, ale do posługiwania

się nim nawet elementarna wiedza o logarytmach nie jest potrzebna, podobnie jak do kręcenia

gałkami telewizora nie trzeba być radiotechnikiem.

Autor w tych i dalszych rozważaniach zastosował łącznie dwa błędne założenia: 1) w jednej szkole jest zawsze

tylko jedna klasa z danego rocznika, 2) jeden nauczyciel matematyki uczy tylko klasy (ściślej klasę) z jednego

rocznika, - uwaga M. R.

Wiele czasu marnuje się też na przekształcenia formalne, zwłaszcza na sprowadzanie

wyrażeń trygonometrycznych do postaci logarytmicznej, tym bardziej, że znaczną rolę

odgrywa w nich czynnik zgadywania, a już zupełnie niepojęte jest, dlaczego wymaga się od

uczniów pamiętania wzorów na przekształcanie funkcji trygonometrycznych. Wszelkie

zakazy korzystania z tablic, podręczników, słowników, atlasów itp. w zadaniach klasowych,

to istna obsesja nauczycielska.

Głównym błędem nauczania matematyki w szkole średniej jest to, że jest ono oparte

na indukcji, zamiast na dedukcji, na przechodzeniu od szczegółów do uogólnień, podczas gdy

powinno być przeciwnie. Nauczyciel matematyki przez lata całe ładuje w ucznia mnóstwo

szczegółów dotyczących równań pierwszego i drugiego stopnia, aby mu dać jakie takie

wyobrażenie o funkcjach zamiast mu w ciągu pięciu minut objaśnić pojęcie funkcji w zapisie

ogólnym y = f(x) i potraktować wszystko inne jako szczególne przypadki. W rezultacie

maturzysta wychodzi ze szkoły obładowany szczegółami, które wkrótce zapomni (jeżeli nie

należy do tych 10 proc. studiujących matematykę lub technikę) i niezdolny do myślenia

kategoriami ogólnymi. Z całej szkolnej matematyki pozostają mu tylko koszmarne

wspomnienia.

Jest to wynik fałszywego systemu, opartego na historycznej doktrynie nauczania.

Zamiast o rzeczach najważniejszych, uczeń dowiaduje się najpierw o rzeczach

najwcześniejszych w rozwoju danej dziedziny wiedzy. Z historii – o Asyrii i Babilonie,

z fizyki – o pocieraniu bursztynu suknem, kamieniach rzucanych przez Galileusza z pochyłej

wieży w Pizie i żabich udkach z doświadczeń Volty, z matematyki – o równaniach

pierwszego stopnia.

Żądanie, żeby kilkunastoletnim dzieciom objaśniać pojęcia różniczki i całki,

wywołałoby

pewnie

popłoch

wśród

nauczycieli

matematyki.

Nawet

studiach

matematycznych lub technicznych student dopiero po dłuższym czasie zaczyna się

orientować (humanista nie dochodzi do tego nigdy), że są to pojęcia tak banalne, iż

z powodzeniem mógłby się z nimi zapoznać na wiele lat przed maturą. Przecież w zasadzie

różniczkowaniem jest wyznaczanie tempa wzrostu (produkcji, budownictwa, ludności itp.),

a całkowaniem - sumowanie przyrostów. A są to sprawy poruszane w gazetach niemal

w każdym artykule na tematy ekonomiczne, socjologiczne itp.

Aby dzięki matematyce uczeń mógł wynieść ze szkoły lepszą umiejętność myślenia,

nauczanie matematyki powinno być oparte przede wszystkim na wykresach . W szkole

korzysta się z wykresów tylko dla interpretacji równań, zapominając, że wykresy są

narzędziem samodzielnym, ogólniejszym niż równania i dającym się zastosować nawet tam,

gdzie się nie rozporządza żadnymi równaniami, a nawet nie wiadomo, jaką mogłyby mieć one

postać. Z tak skąpych danych, jak na przykład, że coś wzrasta coraz wolniej, niepodobna

ułożyć równania, ale wykres można sporządzić i to nawet nie korzystając z żadnych liczb. Co

więcej, zrozumienie samej sprawy przedstawionej wykreślnie pozwala nieraz wskazać,

w którym punkcie krzywa na wykresie musi się zacząć, stwierdzić, że przechodzi ona przez

maksimum lub minimum albo że dąży do jakiejś granicy. Na takich podstawach opiera się

analiza jakościowa zjawisk, umożliwiająca ogólne przewidywania, do których równania lub

pomiary dostarczają już tylko bliższych szczegółów.

Tego

rodzaju

podejście

jest

przecież

potrzebne

ekonomistom,

psychologom,

fizjologom, socjologom itp. Nawet zwykły czytelnik gazet dostaje często informacje

w postaci

wykresów,

np.

dotyczących

rozwoju

przemysłu

handlu,

przemian

demograficznych, rozwoju czytelnictwa, wykrywalności przestępstw, wydatków na budowę

szpitali, fluktuacji spożycia oraz wszelkich zależności w czasie i przestrzeni, bez żadnego

oparcia o wzory matematyczne.

O ile równania mogą być proste lub zawiłe, to wykresy zawsze są proste i łatwo

dostępne dla wyobraźni każdego. Bez trudności można za ich pomocą przedstawiać zakresy

i obszary zmienności, znajdować pierwiastki równań bez ich rozwiązywania (a więc nawet

równań uwikłanych), podawać nie tylko przebiegi zależne od jednej zmiennej, lecz i od wielu

zmiennych (za pomocą rodzin krzywych) itp. Dlatego też podstawową umiejętnością, jaką

z zakresu matematyki uczeń powinien wynieść ze szkoły i zachować na całe życie, powinna

być umiejętność sporządzania i interpretowania wykresów. Tą też drogą należy wpoić

uczniom ogólne pojęcie funkcji, a nie, jak to się dzieje dotychczas, przez otumaniającą

„dyskusję” trójmianu kwadratowego.

Matematyka nauczana w szkole jest wiedzą absolutnie zdehumanizowaną, nie mającą

związku ze zwykłym życiem. Jest to swoista „sztuka dla sztuki”. Zamiast posługiwania się

matematyką jako narzędziem do rozwiązywania zagadnień istotnych dla każdego, traktuje się

operacje matematyczne jako cel sam dla siebie i dobiera do nich fikcyjne zagadnienia. Co

komu przyjdzie z tych wszystkich kół opisanych na trapezach, kul wpisanych w stożki ścięte,

ostrosłupów przeciętych płaszczyznami itp.?

A tymczasem jest mnóstwo życiowych spraw, wymagających ujęcia matematycznego,

których jednak na próżno byłoby szukać w szkolnych programach, jak na przykład

zagadnienia organizacji . Uczeń powinien wynieść ze szkoły rozumienie takich pojęć jak

harmonogram, programowanie, algorytm, metoda grafów itp. Przecież to brak zrozumienia

tych spraw powoduje, że ogromna większość przeprowadzanych u nas akcji ma charakter

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: