kol_zal_sem2_ETI_IBM_2011-2012.pdf

Kolokwiumzaliczeniowezprzedmiotu„AnalizamatematycznaII”

WETI,kierunekIBM,2sem.,r.ak.2011/2012

1. [7 p. ] a) Obliczy¢ całk¦

z 2 q

x 2 + y 2 + z 2 dxdydz,

gdzie bryła V opisana jest nierówno±ciami: 0 ¬ z ¬ p 4 − x 2 − y 2 oraz x 0, y x . Wykona¢

odpowiedni rysunek.

[2 p. ] b) Wyprowadzi¢ jakobian przekształcenia dla współrz¦dnych walcowych uogólnionych.

2. [7 p. ] a) Korzystaj¡c z twierdzenia Greena obliczy¢ całk¦

y 2 dx + x 2 dy,

gdzie K jest krzyw¡ o równaniu ( x − 1) 2 + y 2 = 1 zorientowan¡ dodatnio. Wykona¢ odpowiedni

rysunek.

[2 p. ] b) Wyznaczy¢ rotacj¦ pola wektorowego W =

xy 2 , x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yz ,z

y 3

3. [7 p. ] a) Wyznaczy¢ całk¦ szczególn¡ równania

2( xe − y − 1) dx + ( e y − x 2 e − y ) dy = 0

spełniaj¡c¡ warunek pocz¡tkowy y (3) = 0.

[2 p. ] b) Sprawdzi¢, czy równanie y 0 = − 4 x 2 + 3 xy + y 2

4 y 2 + 3 xy + x 2 jest równaniem ró»niczkowym jednorodnym.

4. [7 p. ] Wyznaczy¢ całk¦ ogóln¡ równania y 00 − 6 y 0 + 9 y = xe 3 x .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7 p. ] Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów liczbowych i w punkcie b) okre±li¢ jej rodzaj

3 2 n n n 2

( n + 2) n 2 b)

( − 1) n +1

p n 3 + 1

n =1

n p

3 − n +1 p

[2 p. ] c) Zbada¢ z deﬁnicji zbie»no±¢ szeregu

n =1

6. [7 p. ] Rozwin¡¢ funkcj¦ f ( x ) = ln(2 + x ) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x 0 = 1. Poda¢

przedział zbie»no±ci otrzymanego szeregu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .