02. oprac_Gauss.pdf

(134 KB) Pobierz
POLITECHNIKA POZNA NSKA
Metoda eliminacji Gaussa
Autorzy:
Mikołaj B UDA
Filip W I SNIEWSKI
15 grudnia 2012
949356775.012.png 949356775.013.png
 
M. Buda i F. Wisniewski
Metoda eliminacji Gaussa
Mamy do rozwi azania układ równa n z trzema niewiadomymi postaci:
8
<
a+2b+c=2
3a+8b+c=12
4b+c=2
:
Nasz układ równa n w ogólnosci mozemy zapisac jako:
Ax=b
Gdzie:
A- współczynniki znajduj ace si e przy niewiadomych,
x- nasze niewiadome,
b- rozwi azanie równa n znajduj ace si e po prawej stronie znaku równosci.
2
3
2
3
2
3
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 3 2 a 33
a
b
c
2
12
2
4
5
4
5
4
5
=
|
{z
}
| {z }
x
| {z }
b
A
Zmiennea,b,cto nasze niewiadome, które musimy wyznaczyc. Z pomoc a przychodzi metoda eli-
minacji Gaussa.
Pierwszym krokiem jest stworzenie macierzy, dla wartosci znajduj acych si e przy współczynnikach
a,b,c, która b edzie wygl adac tak:
2
3
121
381
041
4
5
A=
Wektor zawieraj acy rozwi azania trzech równa n z układu równa nbb edzie wygl adac tak:
2
3
2
12
2
4
5
b=
Pierwszy element w macierzyAw lewym górnym rogu nazywany jest elementem osiowym (ang.
pivot) .
Naszym zadaniem jest wyeliminowanie wszystkich niezerowych elementów znajduj acych si e pod
nim, czyli w tym przypadku trójki.
W tym celu mnozymy pierwszy wiersz macierzy przez wartosc 3i dodajemy go do drugiego wier-
sza.
2
3
1 21
381
041
4
5
Strona 1
949356775.014.png 949356775.001.png 949356775.002.png 949356775.003.png
 
M. Buda i F. Wisniewski
Metoda eliminacji Gaussa
Po wymnozeniu macierzy i dodaniu wierszy macierz przyjmuje postac:
2
3
2
3
1 21
381
041
1 2 1
0 2 2
04 1
4
5 !
4
5
A=
Kolejnym etapem jest zaznaczenie nast epnego elementu osiowego, którego szukamy na diagonali
macierzy, czyli na głównej przek atnej macierzy. Jak widac jest nim2w drugim wierszu w drugiej kolum-
nie.
W PRZYPADKU ROZWI AZYWANIA UKŁADÓW RÓWNA N TWORZY SI E MACIERZE KWADRATOWE ,
KTÓRYCH GŁÓWNA PRZEK ATNA ZAWIERAJ ACA ELEMENTY O RÓWNYCH WSKA ZNIKACH WIER -
SZA I KOLUMNY NAZYWANA JEST DIAGONAL A , B AD Z GŁÓWN A PRZEK ATN A MACIERZY .
2
3
x xx
x x x
xx x
4
5 diagonala
Post epujemy podobnie i zerujemy wszystkie elementy znajduj ace si e ponizej tego elementu osio-
wego. W tym przypadku musimy pozbyc si e liczby4.
Mnozymy drugi wiersz macierzy przez 2i dodajemy do trzeciego. W efekcie otrzymujemy:
2
3
2
3
2
3
1 21
381
041
1 2 1
0 2 2
04 1
1 2 1
0 2 2
00 5
4
5 !
4
5 !
4
5 =U
A=
Otrzyman a macierzUnazywamy macierz a górnotrójk atn a, która zawiera same0pod główn a dia-
gonal a macierzy.
Te same kroki powtarzamy dla wektorab, czyli:
1. Mnozymy pierwsz a składow a przez 3i dodajemy do drugiej składowej.
2
3
2
3
2
12
2
2
6
2
4
5 !
4
5
b=
2. Mnozymy drug a składow a przez 2i dodajemy do trzeciej składowej.
2
3
2
3
2
3
2
12
2
2
6
2
2
6
10
4
5 !
4
5 !
4
5
b=
Ostatecznie znaj ac postac macierzyU, oraz wektorabmozemy zapisac uproszczony układ równa n:
8
<
a+2b+c=2
2b2c=6
5c=10
:
Strona 2
949356775.004.png 949356775.005.png 949356775.006.png 949356775.007.png
 
M. Buda i F. Wisniewski
Metoda eliminacji Gaussa
Rozwi azaniem układu równa n s a liczbya=6,b=1,c=2
W celu usprawnienia oblicze n wektorbmozna zapisac w macierzyAtworz ac now a kolumn e po
prawej stronie i oddzielaj ac j a tak jak ponizej:
2
3
121 j 2
381 j 12
041 j 2
4
5
A=
Powstaje w ten sposób macierz rozszerzona .
W momencie stosowania eliminacji Gaussa mozemy jednoczesnie operowac na ostatniej kolumnie
znajduj ac tym samym wartosci wektorab
W PRZYPADKU , GDY ELEMENT OSIOWY DROG A ELIMINACJI STANIE SI E ZEREM , MUSIMY ZA -
MIENI C WIERSZ Z WIERSZEM ZNAJDUJ ACYM SI E PONI ZEJ I KONTYNUOWA C .
Macierze eliminacji
W opisanej wczesniej eliminacji macierzyAmozna dostrzec pewn a prawidłowosc. Kazda kolejna
macierz powstaje przez pewne operacje, które wykonuje si e na wierszach macierzy doprowadzaj ac
ostatecznie do postaci górnotrójk atnej.
Kazd a operacj e posredni a mozemy przedstawic w postaci iloczynu tzw. macierzy eliminacji oraz
odpowiedniej macierzy, których iloczyn doprowadza do kolejnej postaci itd.
Mamy macierzA:
2
3
1 21
381
041
4
5
A=
Naszym pierwszym elementem osiowym jest1w pierwszej kolumnie w pierwszym wierszu.
Chcemy j a doprowadzic do postaci, która redukuje wszystkie liczby pod elementem osiowym do 0,
czyli:
2
3
1 2 1
0 2 2
04 1
4
5
Nalezy zastanowic si e jaka macierz doprowadzi nas do tej postaci, mozemy symbolicznie zapisac:
2
3
2
3
2
3
xxx
xxx
xxx
1 21
381
041
1 2 1
0 2 2
04 1
4
5
4
5 =
4
5
Strona 3
949356775.008.png 949356775.009.png 949356775.010.png 949356775.011.png
 
M. Buda i F. Wisniewski
Metoda eliminacji Gaussa
Nalezy dobrac w macierzy po lewej stronie takie wartosci, aby wymnozona przez macierzAdawała
macierz po prawej stronie.
Jak widac pierwszy wiersz pozostaje bez zmian, wi ec pierwszy wiersz naszej nowej macierzy przyj-
mie wartosc:
100
"Bierzemy 1 raz piewszy wiersz i 0 razy dwa pozostałe"
Trzeci wiersz nowej macierzy tez nie zmienia si e, wi ec mozemy go zapisac jako:
001
"Bierzemy 1 raz ostatni wiersz i 0 razy dwa pozostałe"
Aby wyzerowac liczby pod elementem osiowym, czyli w tym przypadku3, musielismy wymnozyc
pierwszy wiersz przez 3i dodac go do drugiego, co mozna zapisac w nast epiuj acy sposób:
310
"Wymnóz pierwszy wiersz przez 3i dodaj do drugiego"
W efekcie macierz, której szukamy wygl ada tak:
2
3
1 00
310
0 01
4
5
E 21 =
Jest to macierz, która posłuzyła do eliminacji elementu pod1, czyli liczby3. Liczba3znajdowała si e
w drugim wierszu w pierwszej kolumnie
Niechm=wiersz, an=kolumna
Mozemy wi ec zapisac w skrócie, ze szukana macierz to macierz eliminacjiE 21 , gdyz wyeliminowała
liczb e znajduj ac a si e w drugim wierszu pierwszej kolumny.
Kolejny krok zwi azany jest z drugim elementem osiowym.
W tym przypadku z liczb a2.
Nasze
kolejne równanie przyjmuje postac:
2
4
3
5
2
4
3
5 =
2
4
3
5
xxx
xxx
xxx
1 2 1
0 2 2
04 1
1 2 1
0 2 2
00 5
W tym kroku chcemy wyzerowac4, czyli liczb e w trzecim wierszu drugiej kolumny. Szukamy wi ec
macierzy eliminacjiE 32
Strona 4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin