AnFun_I.pdf
(
206 KB
)
Pobierz
AnFunI.tex
May 24, 2012
ANALIZA
FUNKCJONALNA I
1. Odwzorowania antyliniowe.
Niech V,W b¦d¡ przestrzeniami wektorowymi nad C. Odwzorowanie F: V ! W nazy-
wamy antyliniowym, je»eli
F(v + µw) = F(v) + µF(w).
STWIERDZENIE 1.
(1) Je»eli F: V ! W, G: W ! U s¡ antyliniowe, to GF jest liniowe.
(2) Je»eli jedno z odwzorowa« F: V ! W, G: W ! U jest liniowe, a drugie jest antyli-
niowe, to GF jest antyliniowe.
Zbiór odwzorowa« antyliniowych z V do W tworzy przestrze« wektorow¡, któr¡ oznacza¢
b¦dziemy AL(V,W). Przestrze« funkcjonałów liniowych L(V,C) oznacza¢ b¦dziemy V
, a
przestrze« AL(V,C) funkcjonałów antyliniowych V
#
. B¦dziemy te» u»ywa¢ oznaczenia hf,vi
dla ewaluacji f(v). Niech F: V ! W b¦dzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie
W
! V
: f 7! f F
jest, jak wiadomo, liniowe. Nazywa¢ je b¦dziemy odwzorowaniem dualnym lub sprz¦»onym
do F i oznacza¢ b¦dziemy F
. Podobnie, odwzorowanie
W
#
! V
#
: f 7! f F
jest liniowe. Nazywa¢ je b¦dziemy odwzorowaniem antydualnym lub hermitowsko sprz¦»o-
nym do F i oznacza¢ b¦dziemy F
#
.
Podobnie, je»eli F: V ! W jest odwzorowaniem antyliniowym, to wzór f 7! f F
zadaje odwzorowanie
F
: W
! V
#
: f 7! f F,
które jest, jak łatwo sprawdzi¢, liniowe:
F
(f) = f F
Podobnie, odwzorowanie
F
#
: W
#
! V
: f 7! f F
jest liniowe.
DEFINICJA 2. Sprz¦»eniem zespolonym
fu
nkcjonału liniowego (antyliniowego) f na V
nazywamy funkcjonał antyliniowy (liniowy) f na V , zdefiniowany przez
f(v) = f(v).
Sprz¦»enie zespolone daje kanoniczny antyizomorfizm (t. j. antyliniowy izomorfizm) V
i V
#
. W konsekwencji daje antyizomorfizm przestrzeni L(V
,W
) i L(V
#
,W
#
), zdefinio-
wany wzorem
G ! G : G(f) = G(f),
gdzie G 2 L(V
,W
). Niech F 2 L(V,W). Oczywistym jest zwi¡zek
F
#
= F
.
Jak wiadomo z algebry, dla przestrzeni wektorowych wymiaru sko«czonego mamy kano-
niczny izomorfizm V i (V
)
, zadany wzorem
V 3 v 7! '
v
2 (V
)
: '
v
(f) = f(v) dla f 2 V
,
podobnie, ten sam wzór zadaje antyizomorfizm V i (V
#
)
V 3 v 7! '
v
2 (V
#
)
: '
v
(f) = f(v) dla f 2 V
#
.
W przypadku wymiaru niesko«czonego wzór powy»szy daje injekcj¦, ale nie surjekcj¦, prze-
strzeni V w (V
)
i w (V
#
)
.
1
STWIERDZENIE 3.
(1) Istnieje kanoniczny izomorfizm przestrzeni (V
#
)
i (V
)
#
.
(2) Istnieje kanoniczna injekcja antyliniowa przestrzeni V w (V
)
#
.
(3) Istnieje kanoniczna injekcja antyliniowa przestrzeni V w (V
#
)
.
(4) Istnieje kanoniczna injekcja liniowa przestrzeni V w (V
#
)
#
.
Dowod:
(1) Niech ' 2 (V
)
#
. Wzór
V
#
3 f 7! '(f) 2C
okre±la, jak łatwo sprawdzi¢, odwzorowanie liniowe, wi¦c element z (V
#
)
. Oznaczmy
go przez '. Przyporz¡dkowanie ' 7! ' jest
iz
omorfizmem przestrzeni wektorowych.
(Co si¦ zmieni, je»eli w powy»szym wzorze ' zast¡pimy przez '?)
(2) Sprz¦»enie zespolone daje antyizomorfizm (V
)
i (V
)
#
. Sprz¦»enie zespolone zło-
»one z kanonicznym wło»eniem V w (V
)
daje »¡dane wło»enie antyliniowe.
(3) Otrzymujemy przez zło»enie wło»enia z punktu drugiego z izomorfizmem z punktu
pierwszego.
(4) Otrzymujemy przez zło»enie wło»enia z punktu poprzedniego ze sprz¦»eniem zespo-
lonym.
Jako proste ¢wiczenie zostawiamy dowód nast¦puj¡cego stwierdzenia, b¦d¡ce odpowied-
nikiem znanego z algebry twierdzenia o odwzorowaniach sprz¦»onych.
STWIERDZENIE 4. Dla F,G liniowych (antyliniowych) mamy zwi¡zki
(1) (F + G)
#
=
F
#
+ G
#
, (F + G)
= F
+ G
,
(2) (F)
#
= F
#
, (F)
= F
(3) (GF)
#
= F
#
G
#
,
(GF)
= F
G
(F
)
F.
(4) (F
#
)
#
F,
Niech teraz F: V ! V
b¦dzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie sprz¦»one F
: (V
)
V ! V
jest scharakteryzowane zwi¡zkiem
hF
(v),wi = '
v
F(w) = hF(w),vi
(1)
i podobnie
hF
#
(v),wi = '
v
F(w) = hF(w),vi.
(2)
Odwzorowanie liniowe F: V ! V
nazywamy symetrycznym, je»eli F = F
na V , czyli
hF(v),wi = '
v
F(w) = hF(w),vi.
Odwzorowanie liniowe F: V ! V
#
nazywamy hermitowsko symetrycznym, je»eli F
#
= F
na V , czyli
hF(v),wi = '
v
F(w) = hF(w),vi.
Podobnie, je»eli F: V ! V
jest odwzorowanie
m
antyliniowym, to F: V ! V
#
jest
odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie sprz¦»one F
#
: (V
#
)
#
V ! V
jest wi¦c scha-
rakteryzowane zwi¡zkiem, zgodnie z (2),
hF
#
(v),wi = '
v
F(w) = hF(w),vi = hF(w),vi.
Równo±¢ F
#
= F na V oznacza
hF(v),wi = hF(w),vi.
2
Je»eli natomiast F: V ! V
#
jest odwzorowanie
m a
ntyliniowym, to F: V ! V
jest od-
wzorowaniem liniowym. Odwzorowanie sprz¦»one F
: (V
)
V ! V
jest scharaktery-
zowane, zgodnie z (1), zwi¡zkiem
hF
(v),wi = '
v
F(w) = hF(w),vi = hF(w),vi.
Równo±¢ F
= F na V oznacza
hF(v),wi = hF(w),vi.
2. Przestrzenie z iloczynem skalarnym.
DEFINICJA 5. Iloczynem skalarnym w przestrzeni wektorowej V nad C nazywamy od-
wzorowanie:
h: V ×V !C
takie, »e dla v,w 2 V i 2C mamy
(1) h(v,w) = h(v,w),
(2) h(v,w + w
0
) = h(
v,w) + h(v,w
0
),
(3) h(v,w) = h(w,v),
(4) h(v,v) > 0 dla v 6= 0
(h(v,v) 2R).
Cz¦sto mo»na spotka¢ inny zestaw aksjomatów iloczynu skalarnego:
(1’) h(v,w) = h(v,w), h(v,w) = ¯ h(v,w),
(2’) h(v,w + w
0
) = h(v,w) + h(v,w
0
), h(v + v
0
,w) = h(v,w) + h(v
0
,w),
(3’) h(v,v) 2R,
(4’) h(v,v) > 0 dla v 6= 0 .
Oczywistym jest, »e (1-4) poci¡ga za sob¡ (1’-4’). W obu te» przypadkach h jest odwzoro-
waniem liniowym ze wzgl¦du na drug¡, a antyliniowym ze wzgl¦du na pierwsz¡ zmienn¡.
Mówimy, »e h jest form¡ półtoraliniow¡.
Poka»emy teraz równowa»no±¢ obu definicji.
Wyprowadzimy najpierw formuł¦ polaryzacyjn¡ dla odwzorowania półtoraliniowego. Mamy
h(v + w,v + w) = h(v,v) + h(w,w) + h(v,w) + h(w,v)
oraz
h(v + w,v + w) = h(v,v) + h(w,w) −h(v,w) + h(w,v),
a st¡d, mno»¡c drug¡ to»samo±¢ przez i dodaj¡c do pierwszej, dostajemy (korzystaj¡c z
półtoraliniowo±ci h)
1
2
(h(v+w,v+w)−h(v,v)−h(w,w))+
1
2
(h(v+w,v+w)−h(v,v)−h(w,w)). (3)
Podobnie, mno»¡c drug¡ to»samo±¢ przez − i dodaj¡c do pierwszej, dostajemy
h(v,w) =
1
2
(h(v+w,v+w)−h(v,v)−h(w,w))−
1
h(w,v) =
2
(h(v+w,v+w)−h(v,v)−h(w,w)). (4)
Z warunku (3’) wynika wi¦c równo±¢ (3).
Spostrze»enie: Im h jest form¡ R-dwuliniow¡, antysymetryczn¡ i niezdegenerowan¡.
Re h jest form¡ R-dwuliniow¡, symetryczn¡ i niezdegenerowan¡, wi¦c zadaje na V struk-
tur¦ przestrzeni unormowanej. Mo»emy zatem stosowa¢ oznaczenia i konstrukcje wła±ciwe
przestrzeniom z norm¡. Przede wszystkim, jest to przestrze« metryczna, wi¦c topologiczna.
Ponadto,
(1) h(v,w) oznaczamy (v | w)
(2) (h(v,v))
2
b¦dziemy oznacza¢ kvk i nazywa¢ norm¡ (długo±ci¡) wektora v.
3
Jak i w przypadku euklidesowym, mamy równo±¢ równoległoboku
kv + wk
2
+ kv−wk
2
= 2(kvk
2
+ kwk
2
)
Dowod:
kv + wk
2
+ kv−wk
2
= (v + w|v + w) − (v−w|v−w) = 2(v|v) + 2(w|w)
Przykłady:
(1) C
n
z iloczynem skalarnym
(x | y) = x
1
y
1
+ ··· + x
n
y
n
.
(2) Przestrze« funkcji ci¡głych na odcinku [a,b] z iloczynem skalarnym
Z
b
fg .
(f | g) =
a
(3) Przestrze« C([a,b]) funkcji ró»niczkowalnych w sposób ci¡gły z iloczynem skalarnym
Z
b
Z
b
fg +
f
0
g
0
,
(f | g) =
a
a
gdzie ’prim’ oznacza pochodn¡.
Przestrzenie z drugiego i trzeciego przykładu s¡ wymiaru niesko«czonego. Jako przestrzenie
metryczne nie s¡ zupełne i mo»na je, metod¡ standardow¡, uzupełni¢. Otrzymane w ten
sposób przestrzenie oznaczamy H
0
([a,b]) i H
1
([a,b]).
2.1. Podstawowe własno±ci iloczynu skalarnego.
TWIERDZENIE 6 (Nierówno±¢ Schwarza). Je±li V jest przestrzeni¡ wektorow¡ z
iloczynem skalarnym, to
| (v | w) |6kvkkwk.
(5)
Równo±¢ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy v i w s¡ liniowo zale»ne.
Dowod: Je±li v = 0, to twierdzenie jest trywialne.
Je±li v 6= 0, to rozpatrzmy funkcj¦ :R3 t 7!ktv + wk
2
2R, czyli
(t) = t
2
(v | v) + 2t Re(v | w) + (v | w).
Oczywi±cie (t)>0, zatem wyró»nik tego trójmianu jest niedodatni, tzn.,
(Re(v | w))
2
− (kvkkwk)
2
60.
(6)
Dla pewnego rzeczywistego ' mamy
(v | w) = e
'
|(v | w)|,
zatem
| (v | w) |= e
−'
(v | w) = (e
'
v | w) = Re(e
'
v | w).
St¡d i z (6) dostajemy
| (v | w) |
2
6ke
i'
vk
2
kwk
2
= kvk
2
kwk
2
.
4
Je»eli w = v, to
|(v | w)| = ||kvk
2
= kvkkvk = kvkkwk.
Niech teraz |(v | w)| = kvkkwk i |(v | w)| = e
−'
(v | w). Rozpatrzmy funkcj¦
: t 7! (t) = ke
'
tv + wk
2
= t
2
kvk
2
+ 2t | (v | w) | +kwk
2
=
= t
2
kvk
2
+ 2tkvkkwk + kwk
2
= (tkvk + kwk)
2
.
jest równe zero dla t
0
= −
kwk
kvk
, czyli w = (e
'
kwk
kvk
)v.
Bezpo±rednim wnioskiem z nierówno±ci Schwarza jest nierówno±¢ trójk¡ta:
kv + wk
2
= kvk
2
+ 2 Re(v|w) + kwk
2
6kvk
2
+ 2kvkkwk + kwk
2
= (kvk + kwk)
2
.
Zatem kk spełnia aksjomaty normy w przestrzeni wektorowej. Z nierówno±ci Schwarza wy-
nika te», »e iloczyn skalarny jest funkcj¡ ci¡gła na V ×V z norm¡ produktow¡. Przy okazji
zauwa»my, »e w iloczynie kartezja«skim V ×W przestrzeni z iloczynami skalarnymi, odpo-
wiednio (|)
V
i (|)
W
mo»emy zdefiniowa¢ iloczyn skalarny wzorem
((v,w)|(v
0
,w
0
)) = (v|v
0
)
V
+ (w|w
0
)
W
.
Dla dowolnego podzbioru A V przestrzeni z iloczynem skalarnym definiujemy zbiór
A
?
= {w 2 V :8v 2 A, (w|v) = 0}.
Oczywistym jest, »e A
?
jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ wektorow¡ przestrzeni V . Maj¡ te»
miejsce nast¦puj¡ce oczywiste relacje
(1) Je»eli A B, to A
?
B
?
.
(2) (A
?
)
?
zawiera najmniejsz¡ domkni¦t¡ podprzestrze« zawieraj¡c¡ A.
Poniewa» iloczyn skalarny h jest form¡ półtoraliniow¡, odpowiadaj¡ mu dwa odwzorowania
F
h
: V ! V
i
h
F: V ! V
#
zdefiniowane przez
hF
h
(v),wi = (v | w)
h
h
F(v),wi = (w | v).
(7)
F
h
jest odwzorowaniem antyliniowym, natomiast odwzorowanie
h
F jest liniowe i, jak łatwo
zauwa»y¢, hermitowsko symetryczne. Ponadto
h
h
F(v),wi = (w | v) = (v | w) = hF
h
(v),wi = hF
h
(v),wi,
czyli
h
F = F
h
. Je»eli v 2 ker F
h
, to F
h
(v) = 0 i
0 = hF
h
(v),vi = h(v,v) = kvk
2
.
St¡d v = 0, czyli
h
F jest injekcj¡. W przypadku przestrzeni wymiaru sko«czonego oznacza
to, »e
h
F jest izomorfizmem. Nie jest tak dla wymiaru niesko«czonego, ale, jak zobaczymy w
dalszym ci¡gu wykładu, po ograniczeniu si¦ do funkcjonałów ci¡głych i spełnieniu warunku
zupełno±ci przestrzeni, znów dostajemy izomorfizm.
Zauwa»my jeszcze, »e A
?
= F
−
h
(A
), gdzie A
= {f 2 V
: f(v) = 0 8v 2 A}. Mo»emy
tu zast¡pi¢ F
h
przez
h
F i V
przez V
#
.
3. Przestrzenie Hilberta.
Zupełna przestrze« z norm¡ jest przestrzeni¡ Banacha. Zupełn¡ przestrze« z iloczynem
skalarnym nazywamy przestrzeni¡ Hilberta. Przestrze« Hilberta jest przestrzeni¡ Banacha,
wi¦c mo»na korzysta¢ z rachunku ró»niczkowego i innych metod omawianych w kursie Ana-
lizy. Warto zwróci¢ uwag¦ na to, »e nie ka»da norma jest równowa»na normie hilbertowskiej,
tzn. pochodz¡cej od iloczynu skalarnego. Oczywi±cie, jest to mo»liwe dla wymiaru niesko«-
czonego. W przypadku wymiaru sko«czonego, wszystkie normy s¡ równowa»ne. Przypomn¦
tu, »e dwie normy k·k i k·k
0
na przestrzeni wektorowej V s¡ równowa»ne, je»eli istniej¡
liczby dodatnie a,b takie, »e dla ka»dego v 2 V zachodzi nierówno±¢ akvk6kvk
0
6bkvk.
5
Plik z chomika:
Istrad
Inne pliki z tego folderu:
[T.Pytlik] Analiza funkcjonalna.pdf
(1026 KB)
AnFun_I.pdf
(206 KB)
AnFun_II.pdf
(286 KB)
[Douglas N. Arnold] Functional analysis.pdf
(291 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algebra
Algebra Liniowa
Algorytmy I C++
Analiza matematyczna
Analiza Zespolona
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin