I.(1)C. monotoniczny- funkcja odwzorowywująca zbiór liczb N w zbiór liczb R nazywamy c. liczbowym i oznaczamy (an). Mówimy że c. an jest jest 1.rosnące, 2.malejące ; C. ograniczony- an nazywamy c. ogran, jeżeli ; (2)Gran skończona ciągu(c. zbieżny)- mówimy, że c. (an) jest zbieżny do granicy g co zapisujemy Oznacza to, że w otoczeniu liczby g znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu tzn. wszystkie wyrazu ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu. Jednoznaczność granicy ciągu: Jeżeli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granice. Jeżeli ciąg jest zbieżny ti jest ograniczony. Jeżeli ciąg jest ograniczony i monotoniczny to jest zbieżny. (3)Gran niewłaściwa ciągu (c. rozbieżny) - 1.(2)Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do +(-)niesk, jeżeli co zapisu. lub ; (4)Gran ciągu geometrycznego- an=q^n, gdzie q należy R; gdy q<= -1 to mamy dwa wyniki granicy w "n" parzystych i nie parzystych. (5)Liczba Eulera- e=2,71828182... podstawa ln, Ciąg Eulera- jest to ciąg o wyrazie ogólnym . Granicą ciągu jest liczba e. Ciąg rosnący i ograniczony, zbieżny.
II.(1)Granica skończona funkcji w pkt- gran skończ. funkcji w f(x) w x0 jest liczba g co zapisujemy: f(x)---(x-->x0)--->g lub lim f(x)= g; 1.(Heinego) Jeżeli każdemu ciagowi (xn) argumentów funkcji zbieżnemu do x0, po wartościach różnych od x0 odpowiadający mu ciąg wartości (f(xn)) funkcji jest zbieżny do granicy. 2.(Cauchego) (2)Funkcja ciągła w pkt- funkcje f(x) nazywamy ciągłą w x0 jeżeli: 1.jest określona w otoczeniu U(x0,6) 2. istnieje lim(x->xo) f(x); 3. lim(x->x0) f(x)=f(x0); Jeżeli któreś z tych 3 wymagań nie zachodzi, to funkcja jest nieciągła w x0. W przypadku istniea w x0 tylko granicy jednostronnej i spełnieniu pozostalych mówimy o ciągłości jednostronnej. Rodzaje nieciągłości- Jeżeli pkt x0 jest punktem nieciągłości funkcji ciągłej w S(x0, 6) to ten punkt nazywamy pkt odosobnionym. Dzielimy je na dwa rodzaje: 1.pkt nieciągłości I rodzaju, tj. takie w których istnieją granice jednostronne właściwie (różne bądź równe, ale różniące się od f(x0)) 2.pkt nieciągłości II rodzaju tj. takiej gdy choć jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest granica niewłaściwą. luka- Jeżeli pkt x0 jest pkt nieciągłości I rodzaju, przy czym lim(x->x0+)f(x)= lim (x->x0-) f(x)=g i x0 nie należy do dziedziny, to mówimy że funkcja f(x) ma w x0 nieciągłość usuwalną (x0-luka); (3) Własności funkcji ciągłych- 1.Każdy wielomian jest f cg w R 2.Każda funkcja wymierna jest funkcja cg w swojej D, tzn poza meijscami zerowymi mianownika. 3.Funkcje sinus, cosinus są cg w R, a tangens i cotagens w swoich D. 4.złożenie funkcji cg jest funkcją cg np. e^sinx, e^(-1/x^2) w części wspólnej dziedzin. 5.Każda funkcja cg w <a,b> jest ograniczona. 6.Każda funkcja cg w <a,b> osiąga swoją najwieksza i najmniejszą wartość. 7.Funkcja odwrotna do funkcji cg jest funkcją ciągłą. (5)Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej - jeżeli funkcja f(x) posiada funkcję odwrotną f^(-1)(x), oraz w punkcie x0 ma skończoną i różną od zera pochodną f'(x0) , wtedy w odpowiadającym x0 punkcie y0 istnieje pochodna funkcji odwrotnej (f^(-1)(x))' i jej wartość w punkcie y0 równa jest 1/f'(x0). III(1) (5)Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej w x0- Jeżeli x=g(y) jest ciągła i ściśle monotoniczna w (a,b) oraz istnieje g'(y0)=różne0 to y=f(x) jako odwrotna do niej posiada w xo=g(y0) pochodną f'(x0) wyrażoną wzorem: (5)Pochodna funkcji - niech f(x) będzie określona w U(x0,6) oraz (x0+h)eU(x0,6) (h rózne od 0). Jeżeli istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego [f(x0+h)-f(x0)]/h przy h ->0 to nazywamy ją pochodna funkcji f(x) [p czy l] w x0 i oznaczamy f'(x). Tw. WKiW na to, aby istniała f'(x0) jest równość pochodnych jednostronnych czyli: f'(x0) istnieje <=> f'+(x0)=f'_(x0) Interpretacja geometryczna pochodnej f'(x0)- mówi że f'(x0) jest równa tangensowi kąta nachulenia stycznej w x0 do wykresu funkcji f(x). Równanie stycznej zatem ma postać y-f(x0)= f'(x)(x-x0). III.(1)Pochodna funkcji I-go rzedu - jeżeli f(x) ma w każdym punkcie zbioru X pochodną to dla każdego x należącego do zbioru X przyporządkowana jest jedna wartość f'(x). Symbol f'(x), y' możemy tez zapisać jako: df(x)/dx; y'/dx. Mamy więc dy=y'dx - różniczka funkcji (rózniczka I-go rzędu). (2)Defi. pochodnej logarytmicznej- pochodna logarytmiczną różnikowalnej funkcji f(x) (o dodatnich wartościa'ch) nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego: [lnf(x)]'=1/f(x)*f(x) stąd f'(x)=f(x)*[lnf(x)]' Ostatni wzór jest wygodny w przypadku obliczania pochodnych funkcji typu f(x)=[a(x)]^b(x) (3)Twierdzenie Lagrange'a- Jeżeli f(x) spełnia 1. jest ciągła w <a,b> 2. jest różniczkowalna w (a,b) to istnieje taki c enależący(a,b), że f'(c)=[f(b)-f(a)]/b-a. Wnioski z tw Lagrange'a z tego twierd wynikają ważne wnioski 1. Jeżeli f'(x)=0 to f(x) jest stała w(a,b) f'(c)=0 => f(x)=c; dla x nal (a,b); 2.Jeżeli f'(x)>0 (<0) dla to f(x) jest rosnąca w (a,b) (malejąca w (a,b)). 3. Jeżeli f'(x)=g'(x) to te funkcje różnią się o stałą f(x)=g(x)+B, BeR (4)Ekstremum lokalne funkcji (min, maks)- mówimy, że funkcja f(x) ma w x0 minimum (maksimum) lokalne, jeżeli Jeżeli >=,<= zastąpimy >,< to mówimy o minimum maksimum właściwym. Warunek koniecznmy istnienia ekstremum- jeżeli funkcja różniczkowalna w x0 ma w nim ekstremum to f'(x0)=0. [f ma ekstremum w x0=>f'(x0)=0]. (5)I WWE warunek wystarczający istnienia ekstremum- zmiana znaku pierwszej pochodnej. Jeżeli funkcja f(x) ma dla x nal U(x0,6) pochodną oraz |dla xeS_(x0,6): f'(x)>0 (f'(x)<0) |dla x=x0: f'(x0)=0 |dla xeS+(x0,6): f'(x)<0 (f'(x)>0) |to f ma w x0 maksimum (minimum) właściwe. (6)Punkt przegięcia wykresu funkcji- punkt P0(x0,f(x0)) nazywamy punktem przegięcia krzywej: y=f(x), jeżeli w x0 funkcja ciągła oraz wypukła w górę w S_(x0,6) i wypukła w dół w S+(x0,6) lub na odwrót. WKPP warunek konieczny istnienia punktu przegięcia- Jeżeli istnieje f''(x0) i punkt P0(x0, f(x0)) jest punktem przegięcia to f''(x0)=0. (7)I warunek wystarczający istnienia pkt przegięcia (zmiana znaku f''(x)). Jeżeli funkcja ma pochodna I i II rzędu oraz |dla xeS_(x0,6): f''(x)>0 (f''(x)<0) tzn, jest wypukła w dół (w grę) |dla x=x0: f''(x0)=0 |dla xeS+(x0,6): f''(x)<0 (f''(x)>0) tzn. jest wypukła w górę (w dół) |to P0(x0,f(x0)) jest punktem przegięcia. (8)Asymptota- nazywamy taką prostą, do punktów której zbliżają się pkt wykresu funkcji. As. ukośna (pozioma) 1.(2.)Jeżeli f(x) jest określona w (-niesk,d(,+niesk)), deR to prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną (lub poziomą, dla a=0) lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji y=f(x) gdy: lim(x->-niesk) [f(x)-(ax+b)]=0; 3. Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośna (poziomą, dla a=0) obustronną krzywej y=f(x), gdy jest jednocześnie asymptotą ukośną (poziomą) lewostronna i prawostronna tej krzywej. (9)Asymptota pionowa- prosta o równaniu x=x0 nazywamy asymptota pionową lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji f(x), gdy: lim (x->x0-+) f(x)=-niesk lub +niesk. 2.Prostą x=x0 nazywamy pionową obustronną <=> gdy jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną. IV. (1)Funkcja pierwotna- funkcją pierwotną danej funkcji f(x) dla xeX nazywamy każda różniczkowalna funkcje F(x), taką , że F'(x)=f(x). Ponieważ (F(x)+C)'=F'(x), czyli F(x)+C też spełnia ten warunek, więc każda funkcja różniąca sie o stałą od F(x) jest funkcja pierwotną. (2)Całka nieoznaczona- zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w X nazywamy całka nieoznaczoną i oznaczamy symbolem /f(x)dx, gdzie /-symbol całki, f(x)dx -wyrażenie podcałkowe, f(x)- funkcja podcałkowa. Otrzymujemy więc: /f(x)dx= F(x)+C, gdzie C- stała całkowania. (4)Całkowanie przez podstawienie- Jeżeli f(x) jest ciągła w (a,b) i x=fi(t) jest ciągła w (alfa, beta) i istnieje ciągła fi'(t) to zachodzi wzór /f(x)dx= /f(fi(t))*fi'(t)dt Należy przy tym pamiętać, że podstawienie ma całke upraszczać. (5)Całkowanie przez części- Jeżeli funkcje u(x) i v(x) maja ciągłe pochodne w X to zachodzi wzór: /u(x)*v;(x)dx=u(x)*v(x)-/u'(x)*v(x)dx. (6)Ułamki proste pierwszego rodzaju- nazywamy funkcje postaci w(x)=l(x)/m(x), gdzie l i m są wielomianami. Funkcję wymierna postaci A/(x+a)^n, gdzie neN oraz (a,AeR), nazywamu ułamkiem prostym pierwszego rodzaju. Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie x+a=t i otrzymujemy cał a/(x+a)dx=A*ln|x+a|+C; cał (A/(x+a)^n)*dx= -[a/(n-1)(x+a)^(n-1)]+C, gdzie n>=2. (6)Ułamki proste drugiego rodzaju- funkcję wymierną postaci Bx+C/(x^2+bx+c)^n, gdzie neN oraz b,c,B,CeR przy czym delta<0 gdzie delta jest wyróżnikiem trójmianu x^2+bx+c nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju. Całki z ułamków prostych drugiego rodzaju obliczamy w nastepujący sposób: |Gdy B=0 - obliczamy całkę całdx/(x^2+bx+c)^n: sprowadzamy trójmian x^2+bx+cdo postaci kanonicznej (x-p)^2+q i stosujemy podstawienie x-p=pier(q)*t. |dla n=1 korzystamy ze wzoru całdt/(t^2+1)=arctgt+C |dla n>=2 stosujemy wzór rekurencyjny: całdt/(t^2+1)^n=[t/(2n-2)(t^2+1)^(n-1)]+[(2n-3)/(2n-2)]*całdt/(t^2+1)^(n-1)
madafak1