1. Statystyka-gałąź matematyki stosowanej, to dyscyplina naukowa obejmująca teorię oraz wynikające z niej metody analizy danych. Oparta na rachunku prawdopodobieństwa. Za główny cel stawia wykrycie ogólnych prawidłowości, które będą zjawiskami masowymi. Dzielimy ją na: Opisowa-podaje metody badania rozkładu cechy lub populacji bez metod wnioskowania statystycznego. Matematyczna-obejmuje tworzenie metod wnioskowania statystycznego. Celem badania statystycznego- jest opis zbiorowości statystycznej jako całości bądź porównanie kilku zbiorowości statystycznych. Nie jest to możliwe bez redukcji informacji uzyskanych w wyniku badania statystycznego, które można przedstawić w postaci macierzy danych. 2. Populacja generalna- to zbiór elementów statystycznych, (przedmiotów, osób, zdarzeń), które mogą być logicznie zdefiniowane i posiadają określoną treść merytoryczną. Jest to przedmiot badania statystycznego( kto, co, gdzie, kiedy) Jednostka statystyczna osobnik- pojedynczy element zbiorowości statystycznej np. człowiek, rodzina, województwo. Cecha (zmienna losowa) -jest to właściwość jednostek statystycznych, poszczególne jednostki różnią się od siebie pod względem cechy .Stanowią one zakres badania statystycznego. Macierz danych-tablica o wymiarach n x m, gdzie n oznacza liczbę jednostek statystycznych, zaś m liczbę zmiennych statystycznych. 3. Ad.1.Skala nominalna-jednostki statystyczne są zaliczane do kategorii opisywanych słownie (np. kolor oczu: szary brązowy, organoleptycznie: smak zapach). Nominalna dychotomiczna-wyróżnienie dla dwóch podzbiorów (np. osobniki płci żeńskiej i męskiej) Właściwości skali-brak uporządkowania kategorii, brak jednostki pomiaru, relacje = i =przekreślone Ad.2.Skala porządkowa-gdy nie można dokonać pomiarów, ale jednostki statystyczne można uporządkować według jednej zasady (np. skala ocen szkolnych 1-6,poziom wykształcenia:wyższa-4, średnia-3,zawodowa-2,podstawowa-1) Właściwości skali-brak punktu zerowego, brak jednostki pomiaru, relacje =, =przekreślone,>,< Skala quasi-porządkowa dotyczy zmiennych jakościowych zamienionych na rangi
Ad.3.Skale przedziałowe(interwałowe)-jeśli jednostki statystyczne są uporządkowanymi elementami i można im przypisać określoną wartość mierzona w jednostkach, wszystkie pomiary są danymi w skali interwałowej. Właściwości skali-uniemożliwienie porównania różnic ze względu na mierzoną własność, relacje =,=przekreślone ,<,>,+,-,a/b, a* b
-skala ciągła- wynik może przyjąć dowolną wartość liczbową w określonym przedziale liczbowym (np. wzrost, temperatura) -skale skokowe-zmienna dyskretna, wynik może przyjąć określoną wartość liczbową z przedziału liczb. Tylko liczby całkowite(liczby dni wegetacji, liczba potomstwa, liczba jaj złożonych przez samicę) Ad.4.Skala stosunkowa- umożliwia porównania stosunków ze względu na mierzoną własność. Ma określony jednoznacznie punkt zerowy, ale jednostka pomiaru jest arbitralna (np. staż pracy, okres przydatności sera do spożycia) Właściwości skali-relacje =, =przekreślone,<,>,+,-, a/b, a* b, x1/x2=kAd. 5.Skala absolutna-umożliwia określenie mierzonej własności dla obiektu. Ma określony jednoznacznie punkt zerowy oraz jednostkę pomiaru (np. liczba dzieci w rodzinie, masa plonu z rośliny) Właściwości skali: wszystkie obliczenia, dowolne statystyczne nominalne = , =przekreślone 5. Zmienną losową-jeżeli wartość zmiennej (cechy) są określone przez przypadek (tzn. przyjmuje ona te wartości z określonym prawdopodobieństwem) Dzielimy na: -ciągłe-zmienna przyjmuje dowolne wartości z określonego przedziału9cały zbiór liczb rzeczywistych -skokowe-zmienna przyjmuje dowolne wartości ze zbioru przeliczalnego( zbiór liczb całkowitych z określonego przedziału) Charakterystyki liczbowe-wartość oczekiwana, wariancja, dystrybuanta
8.kiedy mamy do czynienia z rozkładem rzadkich zdarzen Rozkład ten jest szczególnym przypadkiem rozkładu dwumianowego, zachodzącym, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest bardzo małe (p<0,2 a liczba realizacji n duża n>100).
Rozkład ten dobrze opisuje te doświadczenia losowe, w których obserwujemy dużą serię przypadków przy małym prawdopodobieństwie sukcesu w pojedynczych obserwacjach. Prawdopodobieństwo sukcesu obliczamy ze wzoru:
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona są sobie równe i wynoszą wartość stałą λ. E(X) = D2(X) = λ 9.Podaj własności funkcji gęstości zmiennej losowej ciągłej w rozkładzie normalnym. Narysuj wykres krzywej dzwonowej i zaznacz parametry, które go opisują.
Jest to funkcja f(x) określona na zbiorze liczb R i spełniająca 2 warunki:
· Jest określona nieujemnie
· Pole powierzchni pomiędzy wykresem o osią ox jest równe jedności.
W rozkładzie normalnym:
Jest symetryczna względem prostej x = μ E(X) = Me = Mo = m
W punkcie x = μ osiąga wartość maksymalną
Ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x = μ – σ oraz x = μ + σ
Kształt funkcji gęstości zależy od parametrów: μ i σ. Parametr μ decyduje o przesunięciu krzywej, natomiast parametr σ o „smukłości” krzywej.
Pole powierzchni pod wykresem = 1. Jest to prawdopodobieństwo całkowite.
Rozkład zmiennej losowej X ma parametry:
Wartość oczekiwana E(X) = m = μ
Odchylenie standardowe
Modalna (dominanta) Mo = m
Mediana Me = m
10. reguła 3 odchyleń standardowych Funkcja gęstości rozkładu normalnego ma zastosowanie do reguły „trzech sigma”, stosowanej w kontroli jakości. Reguła „trzech sigma” – jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny, to: - 68,3% populacji mieści się w przedziale (μ – σ; μ + σ) - 95,5% populacji mieści się w przedziale (μ - 2σ; μ + 2σ) α = 0,05 - 99,7% populacji mieści się w przedziale (μ - 3σ; μ + 3σ) α = 0,01
11. Własności dystrybuanty:
a) P(xa) = F(a)
b) P(xa)= 1- F(a)
P(ax)= F(b)- F(a)
12wzro na standaryzacje wyników . Wzór: z=
Zmienna standaryzowana Z ma rozkład N(0,1) Wartości prawdopodobieństw dla z odczytujemy z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego N(0,1) Standaryzacja polega na sprowadzeniu dowolnego rozkładu normalnego o danych parametrach µ i do rozkładu standaryzowanego (modelowego) o wartości oczekiwanej µ=0 i odchyleniu standardowych б=1. Zmienną losową x zastępujemy zmienną losową standaryzowaną Z.
14. Rozkład t-studenta jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych - gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ).W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody ν = n − 1 i przyjętego poziomu istotności .
15. rozkład chi-kwadrat Danych jest n ciągłych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 0 i odchyleniem standardowym 1, tj. każda zmienna Xi= N(0,1) (i= 1,2…,n)
Chi-kwadrat: 2 = χ21, …,χ2n
Rozkładem 2 posługujemy się przy wnioskowaniu o wariancji б2 w populacji, korzystając z liniowego przekształcenia o postaci:
2 = (s i б do kwadratu)
Rozkład zmiennej losowej 2 o n-1 stopniach swobody ma następujące parametry:
E(2 ) = n-1
Odchylenie standardowe 2 =
Rozkładu chi-kwadrat używamy we wnioskowaniu statystycznym, dotyczącym:
· Normalności rozkładu empirycznego
· Ustalaniu niezależności
· zmiennych
· W nieparametrycznych testach istotności
· Estymacjach б
16. Dobór próby do badań częściowych:
Próba reprezentatywna – odwzorowująca strukturę zbiorowości z przyjętą dokładnością; nieobciążona i odpowiednio liczna.
Dobór losowy – każda jednostka może wejść do próby z tym samym prawdopodobieństwem (wówczas próba jest nieobciążona)
17.od czego zależy długość, przedziały ufności, ogólna postać przedziału ufności.
Przedział ufności P{f1(Tn) < φ < f2(Tn)} = 1 – α Przeciętny błąd szacunku d: połowa długości przedziału ufności.
Założenia:
Przy zadanym poziomie ufności im większa jest liczebność, tym krótszy przedział ufności
Przy ustalonej liczebności próby wraz ze wzrostem poziomu ufności rośnie rozpiętość (długość) przedziału ufności
Im krótszy przedział tym mniejszy błąd szacunku, co oznacza większą dokładność oszacowania.
18. Hipoteza statystyczna – sąd (przypuszczenie) odnoszący się do nieznanego poziomu parametrów lub do nieznanych postaci rozkładu zmiennych losowych w zbiorowości generalnej.
Formułowanie hipotez:
Hipoteza zerowa – jest podstawową hipotezą statystyczną, która jest przedmiotem weryfikacji, tzn. proces weryfikacji może doprowadzić do jej odrzucenia bądź zatwierdzenia (nie ma podstaw do jej odrzucenia)
Hipoteza alternatywna H1 – hipoteza konkurencyjna w stosunku do hipotezy zerowej. Nazywana jest roboczą, alternatywną, merytoryczną. Pojmowana jako przypuszczenie, np. że rozkład nie posiada właściwości określonej w H0
Jeśli H0 jest parametryczna to H1 można skonstruować dwustronnie (tzn. „jest różne”), prawostronnie (jest większe od) lub lewostronnie (jest mniejsze od), przy czym sposób formułowania hipotez zależy nie tylko od celu badania ale również od rodzaju informacji uzyskanych z próby losowej.
Jeśli H0 jest nieparametryczna to H1 są skonstruowane wyłącznie dwustronnie (tzn. „jest różne”).
Np.
H0 – autobus jeździ zgodnie z rozkładem
H1 – autobus jeździ dłużej niż przewiduje rozkład
19.-schemat budowy testy istotności, jak budujemy obszar krytyczny w testach dwustronnych i jednostr sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej
-wybór testu statystycznego służącego do weryfikacji Ho
-ustalenie poziomu istotności
-podjęcie decyzji z określonym prawdopodobieństwem
Jeżeli jest to test dwustronny to pamiętamy, że obszar krytyczny mamy po obu stronach rozkładu zmiennej. W teście jednostronnym obszar po jednej stronie
20, Błąd I rodzaju polega na odrzuceniu hipotezy zerowej gdy w rzeczywistości jest ona prawdziwa
21.co wpływa na łatwość odrzucenia hipotezy zerowej
–wielkość odchylenia standardowego
-liczebności próby
-przyjęty poziom istotności
-w teście jednostronnym wartość krytyczna będzie zawsze mniejsza niż w tekście dwustronnym
22.jaka hipoteze sprawdza się w tescie zgiodnosci a jaka niezaleznosci
Test zgodności służy do weryfikacji hipotezy w cechą w próbie – ma rozkład złożony
Ho w teście niezależności – rozkład niezależności pomiędzy badanymi cechami
23 wzór na statystykę testową w teście zgodności
X2d= k/∑(ni-np.i)2/npi Jeżeli X2d < x2t to nie ma podstaw aby odrzucić Ho
24. określa poziom zależności liniowej między zmiennymi losowymi niech x i y będą zmiennymi losowymi mogących się rozkładać to :
- xi yi oznaczają wartość prób losowych tych zmiennych ( i = 1,2,3…n)
Natomiast x śr, y śr, wartości średnie tych liczb
Mikamh