ALGEBRA LINIOWA WYKLAD CD.doc

DOWÓD.  OZNACZMY  ,  ,  .  WTEDY POZOSTAJE WYKAZAĆ, ŻE  .  NIECH    STANOWIĄ BAZĘ PRZESTRZENI  ;    –  BAZĘ PRZESTRZENI  ;    –  BAZĘ PRZESTRZENI  .  Z TWIERDZENIA 10 WIEMY, ŻE WEKTORY   ORAZ    MOŻNA TAK KOLEJNO USTAWIĆ, ABY    STANOWIŁY BAZĘ DLA  ,  A    –  BAZĘ DLA  .  KAŻDY WEKTOR    JEST POSTACI  ,  GDZIE  .  ZGODNIE Z TWIERDZENIEM 9,  ISTNIEJĄ JEDNOZNACZNIE WYZNACZONE SKALARY    ORAZ  ,  TAKIE ŻE  , 

.  WTEDY  x  MA JEDNOZNACZNE PRZEDSTAWIENIE W POSTACI

.

ZATEM W BAZIE PRZESTRZENI    JEST DOKŁADNIE    WEKTORÓW. 

DEFINICJA 20.  DLA PRZESTRZENI WEKTOROWEJ  V  I JEJ PODPRZESTRZENI  W  PRZYJMUJEMY:  ,  

WNIOSEK 13. RELACJA    OKREŚLONA W DEFINICJI 20  JEST TYPU RÓWNOWAŻNOŚCI. KLASY ABSTRAKCJI WYZNACZONE PRZEZ TĘ RELACJĘ SĄ POSTACI 

DOWÓD.  ZWROTNOŚĆ:  ,  A WEKTOR ZEROWY NALEŻY DO KAŻDEJ PRZESTRZENI LINIOWEJ.

SYMETRYCZNOŚĆ: 

PRZECHODNIOŚĆ: 

. 

DEFINICJA 21.  NA KLASACH ABSTRAKCJI WYZNACZONYCH PRZEZ RELACJĘ    OKREŚLAMY DZIAŁANIA DODAWANIA ORAZ MNOŻENIA PRZEZ SKALAR:  ;  

TWIERDZENIE 12.  DLA PRZESTRZENI  V  I JEJ PODPRZESTRZENI  W,  ZBIÓR WSZYSTKICH KLAS ABSTRAKCJI WYZNACZONYCH PRZEZ RELACJĘ  ,  Z DODAWANIEM I MNOŻENIEM OKREŚLONYMI NA TYCH KLASACH STANOWI PRZESTRZEŃ LINIOWĄ NAD TYM SAMYM CIAŁEM NAD KTÓRYM JEST  V. 

DOWÓD.  DZIAŁANIA SĄ DOBRZE OKREŚLONE, BO ZGODNIE Z DEFINICJĄ 21,  WYNIKIEM JEST KLASA ABSTRAKCJI.

ŁĄCZNOŚĆ DODAWANIA: 

PRZEMIENNOŚĆ DODAWANIA: 

ISTNIENIE ELEMENTU NEUTRALNEGO DODAWANIA: 

OTRZYMUJEMY  ,  CZYLI  ,  WIĘC  .

ISTNIENIE ELEMENTÓW PRZECIWNYCH: 

OTRZYMUJEMY  ,  CZYLI  ,  TZN.  .  STĄD    . 

DWA RODZAJE ROZDZIELNOŚCI: 

ŁĄCZNOŚĆ MIESZANA: 

MNOŻENIE PRZEZ JEDYNKĘ: 

DEFINICJA 22.  PRZESTRZEŃ ILORAZOWA    JEST TO PRZESTRZEŃ LINIOWA ZŁOŻONA ZE WSZYSTKICH KLAS ABSTRAKCJI WYZNACZONYCH PRZEZ RELACJĘ  ,   GDZIE  . 

PRZYKŁAD 21.  WYZNACZYĆ PRZESTRZEŃ ILORAZOWĄ  ,  GDZIE 

a)   ,  ;     b)   , 

AD  a).  

ZATEM WSZYSTKIE ELEMENTY NALEŻĄCE DO JEDNEJ KLASY  ,  TO TAKIE, KTÓRE MAJĄ TĘ SAMA RÓŻNICĘ MIĘDZY WSPÓŁRZĘDNYMI CO  x  i  y.  PRZYKŁADOWO, KLASĘ     STANOWIĄ WSZYSTKIE PUNKTY LEŻĄCE NA PROSTEJ  .  WSZYSTKIE KLASY, A WIĘC PRZESTRZEŃ ILORAZOWA, TO PROSTE O WSPÓŁCZYNNIKU KIERUNKOWYM 1.

AD  b).

TERAZ W JEDNEJ KLASIE SĄ TE TRÓJKI, DLA KTÓRYCH STAŁA JEST SUMA WSPÓŁRZĘDNYCH, GDZIE TRZECIA JEST BRANA Z PRZECIWNYM ZNAKIEM. PUNKTY NALEŻĄ DO JEDNEJ KLASY, GDY LEŻĄ NA PŁASZCZYŹNIE O RÓWNANIU  ,  GDZIE  a  JEST STAŁĄ. PRZESTRZEŃ ILORAZOWA JEST RODZINĄ TAKICH PŁASZCZYZN.

TWIERDZENIE 13.  JEŻELI    JEST PODPRZESTRZENIĄ WEKTOROWĄ ORAZ  ,  ,  TO  .

DOWÓD.  NIECH  WEKTORY    BĘDĄ BAZĄ DLA  V.  WIEMY, ŻE MOŻNA TAK DOBRAĆ ICH KOLEJNOŚĆ, ABY    STANOWIŁY BAZĘ PODPRZESTRZENI  W.  CHCEMY WYZNACZYĆ BAZĘ PRZESTRZENI  . OCZYWIŚCIE WEKTORY BAZOWE MUSZĄ DO TEJ PRZESTRZENI NALEŻEĆ, WIĘC SĄ ONE POSTACI  .  POKAŻEMY, ŻE SZUKANĄ BAZĘ STANOWIĄ, NP. WEKTORY  .  SPRAWDZAMY LINIOWĄ NIEZALEŻNOŚĆ:

OSTATNIE WYNIKANIE OTRZYMALIŚMY STĄD, ŻE WEKTORY    STANOWIĄ BAZĘ, WIĘC SĄ LINIOWO NIEZALEŻNE.

POKAŻEMY TERAZ, ŻE DOWOLNY WEKTOR    DAJE SIĘ ZAPISAĆ W POSTACI    DLA PEWNYCH  .  OSTATNIA RÓWNOŚĆ JEST RÓWNOWAŻNA ZAPISOWI  ,  CO Z KOLEI OZNACZA, ŻE  .  OSTATNI ZAPIS JEST RÓWNOWAŻNY ISTNIENIU SKALARÓW  ,  TAKICH ŻE  ,  CZYLI 

. 

ZATEM OSTATECZNIE ISTNIENIE SKALARÓW  ,  TAKICH ŻE 

JEST RÓWNOWAŻNE ISTNIENIU SKALARÓW    TAKICH ŻE  .  A TEN OSTATNI WARUNEK JEST SPEŁNIONY, BO   STANOWIĄ BAZĘ, WIĘC GENERUJĄ DOWOLNY WEKTOR.

PRZYKŁAD 22.  W PRZYKŁADZIE 21 a)  MAMY  ,  ,  WIĘC  .  ŁATWO POKAZAĆ, ŻE ZBIÓR JEDNOELEMENTOWY    STANOWI BAZĘ PRZESTRZENI  W.  BAZĄ DLA    JEST NP. WEKTOR  .  JEST ON LONIOWO NIEZALEZNY JAKO POJEDYNCZY WEKTOR NIEZEROWY (BO ZEREM JEST TU WEKTOR  W,  A  ).  SPRAWDZAMY CZY GENERUJE ON CAŁĄ PRZESTRZEŃ  ,  TZN. CZY DOWOLNY WEKTOR    DAJE SIĘ ZAPISAC W POSTACI  .  OTRZYMUJEMY STĄD  ,  CO OZNACZA, ŻE  ,  CZYLI  ISTNIEJE  ,  TAKIE ŻE .  OSTATECZNIE PROBLEM SPROWADZA SIĘ DO SPRAWDZENIA CZY DLA DOWOLNYCH    ISTNIEJĄ    SPEŁNIAJĄCE RÓWNOŚĆ  .  WARUNEK    OZNACZA, ŻE    DLA PEWNEGO  .  OSTATNIA RÓWNOŚĆ PRZYJMUJE POSTAĆ  ,  CO DAJE  .  STĄD WYZNACZAMY  .  ZAUWAŻMY, ŻE JAKO WEKTOR BAZOWY NIE MOŻE TU BYĆ, NP.  ,  BO  ,  WIĘC  ,  A W PRZESTRZENI ILORAZOWEJ    WEKTOR  W  JEST ZEROWY. 

W PRZYKŁADZIE 21 b)  MAMY  ,  ,  WIĘC  .  ŁATWO POKAZAĆ, ŻE ZBIÓR    STANOWI BAZĘ PRZESTRZENI  W  (ZROBIĆ TO JAKO ĆWICZENIE DOMOWE).  JAKO WEKTOR BAZOWY PRZESTRZENI ILORAZOWEJ    MOŻEMY PRZYJĄĆ DOWOLNY WEKTOR POSTACI  ,  GDZIE    (BO WEKTOR ZEROWY NIE MOŻE BYĆ BAZOWY).  NIECH TO BĘDZIE NP.  .  WIEMY JUŻ, ŻE JEST ON LINIOWO NIEZALEŻNY JAKO POJEDYNCZY WEKTOR NIEZEROWY. SPRAWDZIMY, ŻE GENERUJE ON  .  TRZEBA WIĘC POKAZAĆ, ŻE DOWOLNY WEKTOR    DAJE SIĘ PRZEDSTAWIC W POSTACI  . ZATEM SPRAWDZAMY CZY DLA DOWOLNYCH    ISTNIEJĄ  ,  TAKIE ŻE  .  WARUNEK    OZNACZA, ŻE DLA PEWNYCH    MAMY  .  OSTATECZNIE WIĘC SPRAWDZAMY CZY DLA DOWOLNYCH    ISTNIEJĄ  ,  TAKIE ŻE  .  OSTATNIA RÓWNOŚĆ JEST RÓWNOWAŻNA UKŁADOWI  ,  SKĄD DOSTAJEMY 

PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

DEFINICJA 23.  DLA PRZESTRZENI LINIOWYCH    NAD TYM SAMYM CIAŁEM  F,  ODWZOROWANIE     JEST LINIOWE WTEDY I TYLKO WTEDY, GDY SPEŁNIA KONIUNKCJĘ NASTĘPUJACYCH DWÓCH WARUNKÓW:

a)   ;                    b)    .

WNIOSEK 14. ODWZOROWANIE     JEST LINIOWE WTEDY I TYLKO WTEDY, GDY SPEŁNIA NASTĘPUJACY WARUNEK:

*)   

DOWÓD.  POKAŻEMY, ŻE Z WARUNKÓW  a)  I  b)  DEFINICJI 23 WYNIKA WARUNEK  *).  NA MOCY a)  WIEMY, ŻE  .  TERAZ STOSUJEMY  b)  I  MAMY  ,   ,  WIĘC  .

TERAZ POKAŻEMY, ŻE Z WARUNKU   *)  WYNIKAJĄ  a)  I  b).  PODSTAWIAJĄC W  *)    ,  DOSTAJEMY  a);  PODSTAWIAJĄC W  *)    ,  DOSTAJEMY  b); 

PRZYKŁAD 23.  ODWZOROWANIE    OKREŚLONE WZOREM    JEST LINIOWE, BO 

ODWZOROWANIE    OKREŚLONE WZORM    NIE JEST LINIOWE, BO 

ODWZOROWANIE  ,  GDZIE BIERZEMY PRZESTRZEŃ LICZB ZESPOLONYCH NAD CIAŁEM LICZB RZECZYWISTYCH, OKREŚLONE WZORM    JEST LINIOWE. DLA DOWOLNYCH  ,    MAMY:  ...