ZESTAW IX
Część podstawowa
Zad. 1
Rozważmy n-kąty foremne o obwodzie 12. Wykonaj odpowiednią tabelkę opisującą zależności długości boku n-kąta dla n12 od liczby jego boków.
Zad. 2
Średnia płaca w pewnym starostwie zatrudniającym 50 pracowników wynosiła 2000 zł. Po zatrudnieniu nowego pracownika stażysty średnia miesięczna płaca spadła o 1%. Oblicz płacę nowego pracownika.
Zad. 3
W tabelce podane są cztery wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego .
n - numer wyrazu
2
5
8
11
- wartość wyrazu o numerze n
1
7
13
19
Wyznacz wzór ogólny tego ciągu. Czy liczba 2003 jest wyrazem tego ciągu?
Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 4
Na rysunku przedstawiono trójkąt równoboczny i trzy okręgi parami styczne zewnętrznie i jednocześnie każdy z nich jest styczny do dwóch boków trójkąta. Oblicz pole trójkąta równobocznego, jeśli promień każdego z okręgów ma długość 1 cm.
Zad. 5
Oblicz wartość wyrażenia , jeżeli tgx=2.
Zad. 6
Kwadrat 6x6 jest wygodnym opisem zbioru możliwych wyników w dwukrotnym rzucie kostką do gry.
Przykładowo: zamalowane pole na przecięciu pierwszego wiersza i szóstej kolumny kwadratu A odpowiada wynikowi: za pierwszym razem wypadnie 1 oczko, a za drugim 6 oczek.
Opisz słownie zdarzenia A i B przedstawione na rysunkach.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A oraz B.
Zad. 7
W czasie 3 godzin samolot przeleciał z wiatrem drogę długości 1134 km. Lecąc pod wiatr z taką samą prędkością samolot przeleciał w czasie jednej godziny 342 km. Jaka jest prędkość samolotu, a jaka prędkość wiatru?
Zad. 8
Gumową piłkę spuszczono z wysokości 81 metrów. Za każdym razem piłka po odbiciu
od podłoża wznosi się na wysokość równą dwom trzecim wysokości poprzedniej.
a) Wyznacz wysokość piłki po piątym odbiciu się od podłoża.
b) Oblicz całkowitą długość drogi przebytej przez piłkę od momentu, gdy została upuszczona, do momentu uderzenia o podłoże po raz szósty.
Zad. 9
Oblicz średnią arytmetyczną, wariancję i odchylenie standardowe podanego zestawu danych za pomocą tabelki częstości występowania liczby pestek w winogronach. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,1.
Liczba pestek
0
3
Liczba owoców
50
35
10
Zad. 10
Funkcja kwadratowa f określona wzorem: ma jedno miejsce zerowe oraz do jej wykresu należą punkty A=(0,1) i B=(2,9).
a) Wyznacz wartości współczynników a, b i c.
b) Oblicz miejsca zerowe funkcji f.
Zad. 11
Podstawą ostrosłupa o wysokości h jest trójkąt równoboczny. Dwie ściany boczne tego ostrosłupa są prostopadłe do podstawy, a trzecia tworzy z podstawą kąt o mierze . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedzi:
1. Dla 3 boków-4, dla 4-3, dla 5-2,4, dla 6-2, dla 7-,dla 8-1,5, dla 9-,dla 10-1,2, dla 11-, dla 12-1.
2. 980 zł
3., tak, bo
4.
5. 3
6. a) A-suma oczek w dwukrotnym rzucie kostką wynosi 7; P(A)= b) B-w drugim rzucie otrzymamy 4 lub 5; P(B)=
7. prędkość samolotu 360 km/h a prędkość wiatru 18 km/h.
8. a) m b)
9. śr. aryt.=1,5 odch.s. około 0,7; war. około 0,6
10. a) lub b) miejsce zerowe pierwszej to x=-1 a drugiej x=0,5
11.
Część rozszerzona
Zad. 12
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, które nie dzielą się przez 3.
Zad. 13
Bank przyjął kwotę 50000 zł na 5% rocznie z roczną kapitalizacją odsetek i pożyczył ją na 6% rocznie z tą samą kapitalizacją. Ile zyskał bank w ciągu 5 lat, a ile zyskał w ciągu 10 lat?
Zad. 14
Za pomocą układu nierówności opisz zacieniowany na rysunku zbiór punktów.
Zad. 15
Wśród 300 zdających na informatykę było:
200 absolwentów, którzy zdali matematykę na maturze na poziomie rozszerzonym,
75 na poziomie podstawowym
i 25, którzy nie zdawali matematyki na maturze.
Prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez absolwenta jest następujące:
dla tego, który zdawał maturę na poziomie rozszerzonym równa się 0,9,
na poziomie podstawowym 0,25,
a dla tego, który nie zdawał matematyki na maturze równa się 0,1.
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kandydat wśród 300 zdających, zdał pomyślnie egzamin.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kandydat zdał maturę z matematyki na poziomie rozszerzonym, jeśli wiadomo, że zdał on egzamin wstępny.
Zad. 16
Kwadrat ABCD na rysunku obok ma bok długości 2. Trójkąt KLM jest równoboczny. Oblicz pole tego trójkąta.
Zad. 17
Przekątne AC i BD kwadratu ABCD przecinają się w punkcie O. Punkt M jest środkiem odcinka OD, N – środkiem BC. Udowodnij, że trójkąt AMN jest prostokątny i równoramienny.
Zad. 18
Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 12. Jaka powinna być długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, aby jego objętość była maksymalna?
Zad. 19
Oblicz odległość wierzchołka sześcianu, którego krawędź ma długość a, od tej przekątnej sześcianu, do której ten wierzchołek nie należy.
Zad. 20
Korzystając z definicji funkcji rosnącej, udowodnij, że funkcja f o wzorze jest rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich.
12. 329400
13. w ciągu 5 lat 3097,20 zł, a w ciągu 10 lat około 8097,65 zł
14. na przykład
15. a) b)
16.
17. Wskazówka: Przedstaw kwadrat w prostokątnym układzie współrzędnych. Stosując wzór na długość odcinka i twierdzenie Pitagorasa łatwo wykażesz, że trójkąt AMN jest prostokątny.
18.
19.
sir_matin