Momenty dwuwymiarowych zmiennych losowych

Def. Momentem zwykłym dwuwymiarowej zm. los. (X,Y) rzędu r+s nazywamy wartość oczekiwaną iloczynu zm. los. i oznaczamy

Def. Momentem centralnym rzędu r+s zm. los. (X,Y) nazywamy wartość oczekiwaną iloczynu: i oznaczamy .

Def. Momentem centralnym mieszanym rzędu drugiego zm. los. (X,Y) nazywamy kowariancję i oznaczamy cov(X,Y).

tzn. cov(X,Y)=m11=E((X-E(X))(Y-E(Y)))

Uwaga:

Odpowiednikiem wartości oczekiwanej dla wektora losowego (X,Y) jest wektor o współrzędnych [E(X),E(Y)] (wart. brzegowe).

Odpowiednikiem wariancji jest macierz kowariancji.

można pokazać, że:

Tw.

X,Y-zm. los.,  istnieje E(X) i E(Y)  wtedy:

Istnieje

Uwaga:

Def.

Liczbę nazywamy współczynnikiem korelacji zm. los. (X,Y)

Przykład:

Tw

Współczynnik korelacji jest miarą współzależności liniowej zm. los. X i Y i zachodzi twierdzenie:

Warunkiem koniecznym i wystarczającym tego, aby istniały takie, że:

jeśli

Uwaga:

Def

Zmienne losowe X i Y nazywamy niezależnymi, jeżeli dla dowolnych zbiorów borelowskich A i B spełniony jest warunek:

Tw

X, Y są niezależne

FX - dystrybuanta PX

FY – dystrybuanta PY

Tw

X,Y są niezależne 

Tw

X,Y są niezależne

Przykład:

zatem X i Y nie są niezależne

Tw

Zał.:              X,Y - niezależne

T:             

Tw

Zał.:              X,Y – niezależne

T:             

Def

Zmienne losowe X,Y nazywamy nieskorelowanymi jeśli

Tw

X,Y – niezależne => X,Y są nieskorelowane

Wniosek:  => X,Y nie są nieskorelowane (są zależne)

Tw

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Tw

V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

Dowód:

Wn

X,Y niezależne (nieskorelowane)

T:  V(X+Y)=V(X)+V(Y)

Linie regresji pierwszego rodzaju

Def.

Zbiór punktów (E(X/Y=y),y) nazywamy linią regresji pierwszego rodzaju zm. los. X względem Y.

Zbiór punktów (x,E(Y/X=x)) nazywamy linią regresji pierwszego rodzaju zm. los. Y względem X.

Przykład

Wyznaczyć linie regresji jeżeli:

Rozkład warunkowy zm. los. X pod warunkiem że y ustalone

Linia regresji:

Prawa wielkich liczb

Tw. Nierówność Czebyszewa

              (W, S, P) – przestrzeń probabilistyczna

              X: W ® R – zm. losowa

              e > 0,   k Î N

1)     X(w) > 0  w szczególności

2)    

3)    

X: N(0,1)

c= 3

Przykład

Fabryka produkuje gwoździe. Średnia długość gwoździa wynosi 20mm. Obliczyć prawdopodobieństwo, że długość losowo wybranego gwoździa będzie mniejsza od 30mm.

Y – zmienna losowa opisująca długość wybranego gwoździa

E(Y) = 20

Słabe prawa wielkich liczb

- zmienna losowa

Tw. Czebyszewa

(W, S, P) – przestrzeń probabilistyczna

-ciąg niezależnych zm. los. o skończonych wartościach oczekiwanych i ograniczonych wariancją.

wtedy:

Wniosek:

wtedy:

Niech Sn oznacza liczbę sukcesów w ciągu n prób Bernouliego

- prwadopodob. wyznczone z próbki

p – prawdopodob. teoretyczne

To oznacza zgodność z aksjomatyczną def. prawdopodobieństwa.

Centralne twierdzenie graniczne

Tw Lindeberga – Levy’ego

(W, S, P) – przestrzeń probabilistyczna

-ciąg niezależnych zm. los. o tym samym rozkładzie

Niech  - standaryzacja sumy Sn

wtedy:

odchylenie standardowe sumy