Def. Momentem zwykłym dwuwymiarowej zm. los. (X,Y) rzędu r+s nazywamy wartość oczekiwaną iloczynu zm. los. i oznaczamy
Def. Momentem centralnym rzędu r+s zm. los. (X,Y) nazywamy wartość oczekiwaną iloczynu: i oznaczamy .
Def. Momentem centralnym mieszanym rzędu drugiego zm. los. (X,Y) nazywamy kowariancję i oznaczamy cov(X,Y).
tzn. cov(X,Y)=m11=E((X-E(X))(Y-E(Y)))
Uwaga:
Odpowiednikiem wartości oczekiwanej dla wektora losowego (X,Y) jest wektor o współrzędnych [E(X),E(Y)] (wart. brzegowe).
Odpowiednikiem wariancji jest macierz kowariancji.
można pokazać, że:
Tw.
X,Y-zm. los., istnieje E(X) i E(Y) wtedy:
Istnieje
Def.
Liczbę nazywamy współczynnikiem korelacji zm. los. (X,Y)
Przykład:
X
Y
1
0
-1
Współczynnik korelacji jest miarą współzależności liniowej zm. los. X i Y i zachodzi twierdzenie:
Warunkiem koniecznym i wystarczającym tego, aby istniały takie, że:
jeśli
Zmienne losowe X i Y nazywamy niezależnymi, jeżeli dla dowolnych zbiorów borelowskich A i B spełniony jest warunek:
Tw
X, Y są niezależne
FX - dystrybuanta PX
FY – dystrybuanta PY
X,Y są niezależne
2
zatem X i Y nie są niezależne
Zał.: X,Y - niezależne
T:
Zał.: X,Y – niezależne
Zmienne losowe X,Y nazywamy nieskorelowanymi jeśli
X,Y – niezależne => X,Y są nieskorelowane
Wniosek: => X,Y nie są nieskorelowane (są zależne)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)
Dowód:
Wn
X,Y niezależne (nieskorelowane)
T: V(X+Y)=V(X)+V(Y)
Zbiór punktów (E(X/Y=y),y) nazywamy linią regresji pierwszego rodzaju zm. los. X względem Y.
Zbiór punktów (x,E(Y/X=x)) nazywamy linią regresji pierwszego rodzaju zm. los. Y względem X.
Wyznaczyć linie regresji jeżeli:
Rozkład warunkowy zm. los. X pod warunkiem że y ustalone
Linia regresji:
(W, S, P) – przestrzeń probabilistyczna
X: W ® R – zm. losowa
e > 0, k Î N
1) X(w) > 0 w szczególności
2)
3)
X: N(0,1)
c= 3
Przykład
Fabryka produkuje gwoździe. Średnia długość gwoździa wynosi 20mm. Obliczyć prawdopodobieństwo, że długość losowo wybranego gwoździa będzie mniejsza od 30mm.
Y – zmienna losowa opisująca długość wybranego gwoździa
E(Y) = 20
- zmienna losowa
Tw. Czebyszewa
-ciąg niezależnych zm. los. o skończonych wartościach oczekiwanych i ograniczonych wariancją.
wtedy:
Wniosek:
Niech Sn oznacza liczbę sukcesów w ciągu n prób Bernouliego
- prwadopodob. wyznczone z próbki
p – prawdopodob. teoretyczne
To oznacza zgodność z aksjomatyczną def. prawdopodobieństwa.
-ciąg niezależnych zm. los. o tym samym rozkładzie
Niech - standaryzacja sumy Sn
odchylenie standardowe sumy
slimalke