Statystyka ogólna
1)Średnia arytmetyczna
ni0 nieujemne i przynajmniej jedno z nich jest dodatnie . Liczebności n1,n2,....,nz i ich sumę N nazywa się wagami bowiem decydują o udziale danej odmiany cechy w jej wpływie na jej średnią wartość.
Średnią arytmetyczną jest ważona system wag N
=
suma wartości, to znaczy suma iloczynów odmian cechy i ich liczebności
-suma liczebności populacji
Jeżeli liczebności (wagi) są sobie równe dla wszystkich odmian cechy N=n1+n2+....+nz=1 to wówczas mamy do czynienia z średnią nieważoną (średnia ważona systemem wag jednostkowych)
Wartość średniej arytmetycznej nie zależy od poziomu wag, lecz od ich proporcji
Średnia harmoniczna
Średnią harmoniczną liczy się gdy ma się do czynienia z rzekomym szeregiem rozdzielczym
Rzekomy szereg rozdzielczy (strukturalny)- jest to szereg w którym miejsce struktury liczebności przedstawia się jako liczebności i ich strukturę sum wartości.
Jeżeli odmianom cechy X x1,x2,...,xz odpowiadają nieadekwatnie liczebności n1,n2...,nz to średnią harmoniczną jest:
H=
Średnią harmoniczną i arytmetyczną oblicza się w przypadku występowania addytywności badanej cechy i wówczas rozdziela się równomiernie na wszystkie jednostki liczebności łączną sumę wartości, jakie przyjmują poszczególne jednostki (elementy) zbiorowości
Średnia Geometryczna
Gdy zachodzi potrzeba rozdzielania równomiernego wśród wszystkich jednostek liczebności, iloczynu wartości cechy w obliczeniach należy stosować średnią geometryczną
G=
-iloczyn
Średnia geometryczna posiada dwie następujące właściwości matematyczne:
1) Logarytm średniej geometrycznej wartości cechy X jest średnią arytmetyczną logarytmów odmian cechy X
logG=
2) Średnia geometryczna odwrotności cechy X jest odwrotnością średniej geometrycznej wartości cechy X
Średnia geometryczna ważona systemem wag jednostkowych, co do której powszechnie używa się nazwy nieważona średnia geometryczna. Liczy się gdy n1=n2=...nz=1 stopień pierwiastka wynosi z
Przeciętne (średnie) pozycyjne
Dominanta
Rachunek dominanty jest możliwy i pożądany i wykonalny tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z tak zwanym rozkładem monomodalnym a nie wielomodalnym. Nie można orzec co jest właściwie dominującym wariantem odmiany cechy, jeśli jest ich kilka, o mniej więcej równych odpowiadających im liczebnością.
Wzór interpolacyjny dla rachunku dominanty ma następującą postać
gdzie:
xd0-dolna granica przedziału klasy dominanty
hd- rozpiętość przedziału klasy dominanty
nd-1-liczebność klasy poprzedzającej klasę dominanty
nd- liczebność przedziału klasy dominanty
nd+1- liczebność następnej klasy po klasie dominanty
przy nd-1=nd+1 dominanta równa się wartości cechy środka przedziału klasy dominanty
nd-1<nd+1 dominanta zbliża się wartością do górnej granicy wartości cechy przedziału dominanty
nd-1>nd+1 dominanta zbliża się ku dolnej granicy wartości cechy przedziału dominanty
Mediana- w statystyce liczba leżąca dokładnie w środku serii liczb uporządkowanych, lub uszeregowanych od najmniejszej do największej
xm0-dolna granica klasy mediany
-suma liczebności do klasy poprzedzającej klasę mediany włącznie
hm- rozpiętość przedziału klasy mediany
nm- liczebność klasy mediany
Jeżeli liczbę równych części (a), na którą dzieli charakterystyka zwana medianą (b) to otrzymamy liczbę charakterystyk poziomu cechy zwanych pozycyjnymi wyższych rzędów
Przy dzieleniu zbiorowości statystycznej na a równych segmentów uzyskaniu b charakterystyk liczenie odbywa się według formuły
Qa,b- symbol przeciętnej pozycyjnej np. Q4,1- pierwszy kwartyl, Q10,7 siódmy decyl Q100,70 siedemdziesiąty centyl
Xq0-dolna granica przedziału, w którym znajduje się poszukiwana przeciętna pozycyjna
- suma liczebności, włącznie do klasy poprzedzającej klasę, w której znajduje się przeciętna pozycyjna
hq- rozpiętość przedziału klasy liczonej przeciętnej pozycyjnej
nq- liczebność klasy liczonej przeciętnej pozycyjnej
Miary dyspersji
I Klasyfikacja miar rozproszenia
Pomiar intensywności, możliwości porównań rozrzutu cechy w jednej zbiorowości statystycznej z rozrzutem w drugiej. Analiza rozrzutu określany jest nazwą analizy dyspersji, rozproszenia cechy, zmienności.
Rozproszenia miary pozycyjnej- powstają jako różnice, bądź wyróżnionych wartości cechy, bądź innych pozycyjnych charakterystyk poziomu cechy
Do rozproszenia miary pozycyjnej zalicza się :
*Rozstęp(obszar zmienności)- jest różnicą między skrajnymi wartościami cechy, między jej maksymalną, a minimalną wartością.
*Odchylenie ćwiartkowe(Q)- jest to połowa różnicy między trzecim i pierwszym kwartylem
Wypadkowe (wynikowe) miary rozproszenia- powstaną jako zważone odchylenia wartości wszystkich odmian cechy od jej wypadkowej charakterystyki poziomu cechy, jaką jest średnia arytmetyczna
Do wypadkowych (wynikowych) miar rozproszenia zalicza się :
*Odchylenie przeciętne (dx)- to średnia arytmetyczna wartości bezwzględnych odchyleń odmian cechy od jej średniej arytmetycznej
*Odchylenie standardowe- należy do miar rozproszenia cechy a arytmetyczny pierwiastek z wariancji określany jest jako odchylenie standardowe S(X)
*Wariancja cechy X- jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń odmian tej cechy od jej średniej arytmetycznej
Właściwości wariancji:
*Wartość wariancji nie zależy od bezwzględnego poziomu wag, leczy od proporcji wag
*Wariancja jest różnica między średnią arytmetyczną kwadratów cechy a kwadratem średniej arytmetycznej tej cechy
II klasyfikacja wiąże się z mianami miar rozproszenia
Miary rozproszenia absolutne(bezwzględne)- zalicza się wszystkie miary wynikowe i pozycyjne rozproszenia, które charakteryzują się posiadanie mian tych samych, lub od nich pochodnych, co miana badanej cechy
Miary dyspersji (rozproszenia)
Momenty- jako średnie arytmetyczne odchyleń wartości cechy (zmiennej) od liczby a podniesione do potęgi r.
Współczynnik asymetrii
g1- współczynnik asymetrii
e3- moment centralny 3-ciego rzędu
S3(X)-odchylenie standardowe w potędze 3-ciej
Koncentracja- oznacza nierównomierny rozkład ogólnych sum wartości cechy wśród jednostek liczebności zbiorowości statystycznej
Stochastyczny związek cech
Jeżeli odmianie cechy niezależnej towarzyszą różne odmiany cechy zależnej to związek nazywamy stochastyczny związek cech.
Funkcja regresji- polega na tym, iż można funkcyjnie przyporządkować warunkowe średnie zmiennej (cechy) zależnej poszczególnym klasom (odmianom) wartości liczbowej cechy niezależnej
Funkcje regresji dzielimy na:
*funkcje regresji pierwszego rodzaju, lub funkcjach empirycznych regresji w przeciwieństwie do teoretycznych funkcji regresji, lub zwanych funkcjami regresji drugiego rodzaju, gdy rzecz tyczy się oszacowania funkcji regresji na postawie próby statystycznej
Korelacja ujemna- są to malejące wartości średnich arytmetycznych warunkowych cechy zależnej
Korelacja dodatnia- rosnącym wartościom cechy niezależnej odpowiadają rosnące wartości średnich arytmetycznych warunkowych cechy zależnej.
Kowariancja (wariancja wspólna)- cech X i Y nazywa się średnią arytmetyczną iloczynów odchyleń wartości liczbowych tych cech od ich średnich arytmetycznych.
C(XY)=(YX)=
Kowariancja mierzy przez swój znak kierunek związku korelacyjnego, korelacyjnego przez swoją wartość liczbową siłę związku korelacyjnego
Współczynnik korelacji
rxy=ryx- współczynnik korelacji
C(XY)-kowariancja
S(X)S(Y)- odchylenie standardowe, kolejno cechy X i Y
Stosunek korelacji- jest ilorazem odchylenia standardowego średnich arytmetycznych warunkowych cechy zależnej do odchylenia standardowego szeregu brzegowego tej cechy.
Stosunek korelacji dla cechy zależnej X i Y
Korelacja cząstkowa- polega na tym, iż wiążemy ze sobą dwie cechy, ale równocześnie zakładamy, że istnieją oraz mają wpływ na badane procesy zjawisk (cechy) inne, od których świadomie się abstrahuje przez eliminację z rachunku
Współczynnik korelacji cząstkowej, który można przeciwstawić współczynnikowi korelacji całkowitej (zupełnej), wyrażającemu związek określonej pary cech, obliczamy bez względu na ewentualny związek z innymi cechami
Współczynnik korelacji wielorakiej-jest miarą wyrażającą związek między wartością jednej cechy a kompleksem innych cech
Szeregi czasowe- jest to prezentacja pomiarów statystycznych określonej zbiorowości w różnych momentach, lub okresach czasu.
Z reguły okresy, w których dokonuje się pomiarów mają te samą długość, zaś są jednakowo od siebie odległe
...
malinowydom