3.3 - Ruch obrotowy 40-46.pdf
(
93 KB
)
Pobierz
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/strict.dtd">
RUCH OBROTOWY
Moment siły
Moment siły jest iloczynem wektorowym ramienia działania i siły.
C
C
C
´=
Wektor momentu siły jest skierowany wzdłuŜ
osi obrotu, a jego zwrot jest określony przez
kierunek przesuwania się śruby obracanej tak
jak obraca się bryła.
M
r
F
C
M
R
Ä
C
r
Wartość momentu siły wynosi:
M
a
=
rF
sin
a
r
sin
a
=
R
C
F
M
=
F R
×
Warunek równowagi bryły
RozwaŜamy bryłę sztywną pozostającą
początkowo w spoczynku, na którą działają
siły
F
1
, F
2
,
i
F
3
. Momenty sił
F
1
i
F
2
mają
zwrot przed płaszczyznę rysunku, a
moment siły
F
3
ma zwrot za płaszczyznę
rysunku. Jeśli suma wektorowa momentów
sił działających na bryłę jest równa zeru, to
bryła pozostaje w spoczynku. Ten stan jest
określony przez warunek:
F
1
·
R
1
R
3
R
2
·
·
·
C
C
C
M
+
M
+
M
=
0
1
2
3
F
2
F
3
Oznacza to, Ŝe bryła pozostaje w
równowadze, jeśli suma wartości
momentów sił obracających bryłę w prawo jest równa sumie wartości momentów sił
obracających w lewo. W tym przypadku jest to warunek skalarny:
M
3
= M
1
+ M
2
,
lub:
F
3
R
3
= F
1
R
1
+ F
2
R
2
Spełnienie powyŜszego warunku oznacza, Ŝe bryła będzie w równowadze ale moŜe
mieć miejsce ruch postępowy. O ruchu postępowym decyduje wypadkowa sił
działających na bryłę. Aby nie wystąpił równieŜ ruch postępowy, musi być spełniony
warunek:
40
C
C
C
Przedstawione warunki wyraŜają pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego i
dla ruchu postępowego.
F
+
F
+
F
=
0
1
2
3
Przyspieszenie k
ą
towe
RozwaŜamy bryłę sztywną, która obraca się z rosnącą prędkością kątową. Punkt
odległy o r od osi obrotu ma prędkość liniową
C
.
Przyspieszeniem kątowym bryły jest wektor skierowany
wzdłuŜ osi obrotu, określony jako pochodna prędkości
kątowej po czasie:
C
w
C
e
C
G
d
w
e
=
dt
C
a
Pomiędzy prędkością liniową i prędkością kątową istnieje
związek:
C
V
V
r
dV
r
w
=
⇒
d
w
=
a
r
dV
dt
dV
C
C
C
a
=
e
´
r
rdt
;
e
=
;
=
a
e
=
Moment bezwładno
ś
ci
KaŜdą bryłę moŜna traktować jako zbiór nieskończenie wielu punktów materialnych.
Przez moment bezwładności bryły rozumiemy sumę
nieskończenie wielu iloczynów :
2
2
2
I
=
dm r
+
dm r
+
dm r
+
. . . . . . . .
dm
r
1
1
2
2
3
3
¥
∑
2
I
=
dm r
i
i
i
=
1
Sumowanie musi rozciągać się na wszystkie punkty bryły. Do obliczania takich sum
jest wykorzystywany rachunek całkowy.
41
1. Moment bezwładno
ś
ci punktu, cienkiej obr
ę
czy lub rury
m
m
r
r
m
r
W przypadku punktu, cienkościennej obręczy lub rury, cała masa znajduje się w tej
samej odległości od osi obrotu. Suma określająca moment bezwładności sprowadza
się zatem do jednego składnika i wynosi:
2
I
=
mr
2. Moment bezwładno
ś
ci cienkiego, jednorodnego pr
ę
ta.
RozwaŜamy pręt o masie
m
i długości
l
obracający się wokół osi przechodzącej
przez jeden z końców pręta. Moment
bezwładności elementu masy (
dm
) jest równy:
dx
m l
dm
2
dI
=
dmx
x
dm
m
dx
l
m
l
=
⇒
dm
=
dx
m
l
m
l
2
dI
=
x dx
2
dI
=
f x dx
(
)
f x
(
)
=
x
=
∑
I
dI
l
l
l
m
l
m
l
m
l
x
3
m
l
l
3
∫∫∫∫
2
∫∫∫∫
2
I
=
x dx
=
x dx
=
=
3
3
0
0
0
2
ml
I
=
3
3. Moment bezwładno
ś
ci jednorodnego walca.
Jednorodny walec moŜna podzielić na
cienkościenne
m R l
rurki
o
masie
dm
,
dr
dm
promieniu
r
i
grubości
dr
.
Moment
bezwładności takiej rurki wynosi:
r
2
dI
=
dmr
42
dm
m
r
p
rp
2
rldr
R l
2
rdr
R
=
=
2
2
rrp
rp
2
mrdr
R
2
m
R
3
dm
=
dI
=
r dr
2
2
R
R
4
4
2
m
R
2
m
R
r
2
m
R
R
∑
∫∫∫∫
3
I
=
dI
=
r dr
=
=
2
2
2
4
4
0
0
2
mR
I
=
2
4. Moment bezwładno
ś
ci jednorodnej kuli.
Kulę moŜna podzielić na cienkie krąŜki o masie
dm
, promieniu y i grubości
dx
.
Moment bezwładności takiego krąŜka wynosi:
2
2
dmy
dm
m
rp
rrp
rp
y dx
dI
=
=
(x,y)
4
3
2
3
r
p
R
R
(
)
2
2
3
R
-
x
mdx
2
m y dx
R
3
4
dm
=
=
x
3
3
4
R
dx
3
8
m
R
(
)
2
2
dI
=
R
-
x
dx
3
R
3
8
m
R
(
)
2
∑
∫∫∫
2
2
I
=
dI
=
R
-
x
dx
3
-
R
R
5
3
8
m
R
3
4
m
R
2
3
1
5
3
4
m
R
R
(
)
(
)
∫∫∫∫
4
2
2
4
5
5
5
I
=
2
R
-
2
R x
+
x
dx
=
R
-
R
+
R
=
15
-
8
+
3
3
3
3
15
0
2
5
2
I
=
mR
5. Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności pewnej bryły względem osi przechodzącej przez środek masy
tej bryły wynosi
I
0
, a względem innej osi , równoległej do pierwszej i połoŜonej w
odległości
r
wynosi
I
. Twierdzenie Steinera określa związek między tymi
momentami:
43
I
=
I
+
mr
2
0
Korzystając z twierdzenia Steinera i posługując się
metodą tzw. analizy wymiarowej, moŜna wyprowadzić
wzór określający moment bezwładności cienkiego,
jednorodnego pręta. Moment bezwładności ma wymiar
kg m
2
, a zatem dla pręta o masie
m
i długości
l
musi być
wyraŜony wzorem:
I = k m l
2
, gdzie
k
- współczynnik o nieznanej wartości.
Pomiędzy momentami bezwładności względem zaznaczonych osi zachodzi związek:
m
r
I
0
I
2
m
l
1 / 2 l 1 / 2 m
1 / 2 l 1 / 2 m
I
=
I
+
0
4
2
2
2
k
m l
m
l
1
3
ml
2
kml
=
2
+
⇒
k
=
I
=
2 4
4
3
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Przyspieszenie k
ą
towe ciała jest wprost proporcjonalne do momentu działaj
ą
cej
siły i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładno
ś
ci.
C
C
e
=
I
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
Jeśli na ciało działa kilka sił, to
M
oznacza wypadkowy moment wszystkich sił
działających na ciało.
Bryła jest zbiorem punktów o masie
dm
. Energia kinetyczna jednego punktu bryły
wynosi:
C
w
2
dmV
dE
=
V
=
w
r
k
2
dm
1
2
2
2
dE
=
dm
w
r
k
Energia kinetyczna bryły stanowi sumę energii
kinetycznych poszczególnych jej punktów.
C
V
1
2
1
2
∑
∑
2
2
2
2
E
=
dm
w
r
=
w
dmr
k
44
Plik z chomika:
Lina121992
Inne pliki z tego folderu:
Biofiz artykuły.rar
(29880 KB)
5.3 - Fizyka jądrowa 26-47.pdf
(366 KB)
2.2 - Astronomia 17-41.pdf
(852 KB)
4.2 - Ruch falowy 9-21.pdf
(134 KB)
5.2 - Fizyka atomowa 16-25.pdf
(105 KB)
Inne foldery tego chomika:
Anatomia
Biologia medyczna
Chemia Medyczna
Histologia
Język Angielski
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin