09.2 - Rachunek wektorowy.pdf

(90 KB) Pobierz
Wydział: WiLiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Rachunek wektorowy
Zad.1
Sprawdzić, czy wektor
a
jest kombinacją liniową wektorów
x
i
:
1.1
a
= [3, 2,
−5],
x
1
= [2, 2, 0],
x
2
= [1, 0, 0]
1.2
a
= [4,
−1,
3],
x
1
= [−1, 2, 3],
x
2
= [2,
−1, −2],
x
3
= [1, 1, 1]
1.3
a
= [−1,
−2,
1],
x
1
= [−1,
−1,
0],
x
2
= [1, 0,
−1],
x
3
= [0,
−1,
1]
Zad.2
Zbadaj liniową niezależność wektorów:
2.1
x
1
= [−1,
−1,
0],
x
2
= [1, 0,
−1],
x
3
= [0,
−1,
1]
2.2
x
1
= [1, 2, 3],
x
2
= [2, 3, 1],
x
3
= [4, 4, 5]
2.3
x
1
= [3, 2, 3],
x
2
= [2, 2, 0],
x
3
= [1, 0, 0]
2.4
x
1
= [1, 1, 0],
x
2
= [1, 1,
−1],
x
3
= [0, 0, 1]
Zad.3
Dobrać stałą
a
tak, aby wektory
x
1
= [1, 2, 3],
x
2
= [0, 3,
−1],
x
3
= [2, 5,
a]
były liniowo zależne.
Zad.4
Czy wektory
e
1
= [1, 0, 1],
e
2
= [1, 1, 0],
e
3
= [0, 1, 1]
tworzą bazę w
R
3
, czy jest to baza ortogonalna
(ortonormalna)? Jeśli tak, to znaleźć współrzędne wektorów
a
= [1, 1, 1],
b
= [3, 5,
−3]
w tej bazie.
Zad.5
Czy wektory
e
1
= [1,
−1,
0],
e
2
= [1, 1, 1],
e
3
= [2,
−1, −1]
tworzą bazę w
R
3
, czy jest to baza ortogonalna
(ortonormalna)? Jeśli tak, to znaleźć współrzędne wektora
a
= [3, 4, 3]
w tej bazie.
Zad.6
Obliczyć iloczyn skalarny wektorów
a
= 2p
−
q
prostopadłymi.
Zad.7
Obliczyć iloczyn skalarny
a
◦
b
, jeżeli
a
=
p
+ 2q +
r
,
b
= 4p
−
3q
−
r
i
p, q, r
są wersorami wzajemnie
prostopadłymi.
Zad.8
Znaleźć długość wektora
a
= 2p
−
3q
, wiedząc, że
p
i
q
są prostopadłe oraz
|p|
= 4
,
|q|
= 2
.
Zad.9
Obliczyć
(a +
b)
2
, jeżeli
|a|
= 1
,
|
b|
= 5
i
(
a, b
) =
π
3
i
b
= 5p + 2q
, jeżeli
p, q
są wersorami wzajemnie
.
Zad.10
Obliczyć kąt między wektorami
p
i
q
, jeżeli wiadomo, że wektory
a
= 2p +
q
i
b
=
−4p
+ 5q
są wzajemnie
prostopadłe oraz
|p|
=
|q|
.
Zad.11
Obliczyć długości przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach
a
= 5p + 2q
i
b
=
p
−
3q
, jeżeli
√
wiadomo, że
|p|
= 2 2
,
|q|
= 3
oraz
(
p, q
) =
π
.
4
Zad.12
Znaleźć
3a
−
4
b
,
a
◦
b
i
|a −
b|
, jeżeli
12.1
a
= [−2, 6, 1],
b
= [3,
−3, −1]
12.2
a
= [3,
−4,
2],
b
= [1, 2,
−5]
Zad.13
Znaleźć cosinus kąta między wektorami
1
13.1
a
= [−4, 8,
−3],
b
= [2, 1, 1]
13.2
a
= [−2,
−3,
0],
b
= [−6, 0, 4]
Zad.14
Znaleźć
ABC
, jeżeli
A(2,
7, 0)
,
B(−1,
−1,
4)
,
C(3,
0, 1)
.
ABC
, gdzie
A(2,
7, 0)
,
B(−1,
−1,
4)
,
C(3,
0, 1)
, jest prostokątny. Obliczyć jego
Zad.15
Sprawdzić, czy trójkąt
pole.
√
Zad.16
Sprawdzić dla jakich wartości parametrów
a
i
b
wektor
p
= [
q
= [1, 1, 1]
.
Zad.17
Znależć wektor
a
3
3
, a, b]
jest wersorem prostopadłym do wektora
wiedząc, że jest on prostopadły do wektorów
b
= [2, 3,
−1]
,
c
= [1,
−2,
3]
oraz
a
◦
[2,
−1,
1] =
−6
.
Zad.18
Dane są wektory
a
= [3,
−2,
1]
,
b
= [1, 2, 1]
i
c
= [−1, 4, 3]
. Obliczyć
(
b
◦
c)
(2c
×
a)
Zad.19
Wektor
a
= (2p
−
4q + 5r)
×
(3p +
q
−
r)
◦
(a
−
b)
×
(a +
c)
p, q, r
, jeżeli
zapisać jako kombinację liniową wektorów
wiadomo, że wektory te tworzą trójkę wersorów wzajemnie prostopadłych o orientacji zgodnej z orientacją
układu współrzędnych.
Zad.20
Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
a
=
p
−
2q
i
b
= 2p + 4q
, jeżeli
|p|
= 2
,
|q|
= 3
i
(
p, q
) =
π
3
.
Zad.21
Wiedząc, że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
p
i
q
jest równe 2 obliczyć pole równoległoboku
zbudowanego na wektorach
a
= 2p
−
q
i
b
= 2p + 3q
.
Zad.22
Dane są wektory
a
=
i
+ 2
j
i
b
= 3
k
−
5
j
. Obliczyć
a
×
b
.
Zad.23
Dane są wektory
a
= [3,
−1, −2]
i
b
= [1, 2,
−1]
. Obliczyć
(2a +
b)
×
b
.
Zad.24
Znaleźć tangens kąta między wektorami .
Zad.25
Sprawdzić, czy wektory
a
= [3,
−2,
1]
,
b
= [2, 1, 2]
i
c
= [3,
−1, −2]
są współpłaszczyznowe (leżą w jednej
płaszczyźnie).
Zad.26
Wykazać, że punkty
A(1,
2,
−1)
,
B(0,
1, 5)
,
C(−1,
2, 1)
i
D(2,
1, 3)
leżą w jednej płaszczyźnie.
Zad.27
Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach
a
= [2, 3, 4]
,
b
= [0, 4,
−1]
i
c
= [5, 1, 3]
.
Zad.28
Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach
A(4,
0, 0)
,
B(0,
3, 0)
,
C(0,
0, 2)
i
D(1,
1, 0)
.
Zad.29
Objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach
p
,
q
i
r
jest równa 3. Obliczyć objętość czworościanu
zbudowanego na wektorach
a
=
p
+
q
−
r
,
b
= 2p
−
q
+
r
i
c
=
p
+ 2q
−
3r
.
Zad.30
Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach
p
,
q
i
r
, jeżeli wiadomo, że objętość
równoległościanu zbudowanego na wektorach
a
=
p
+
q
+
r
,
b
= 2p
−
q
−
r
i
c
=
p
+
q
−
3r
jest równa 48.
2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin