Wykład 2
Kinematyka.
Aby prześledzić tok tego wykładu MUSISZ rozumieć pojęcie wektora, jego składowych w układzie kartezjańskim oraz pojęcie pochodnej funkcji jednej zmiennej. Będzie również potrzebna umiejętność stosowania algebry wektorów (patrz dodatek na końcu wykładu 1).
Podstawowe wielkości opisujące ruch.
Tor punktu materialnego z zaznaczeniem wektora wodzącego r(t), i wektora przemieszczenia.
Pojęcie toru - Tor ruchu punktu otrzymamy rejestrując kolejne położenia punktu w następujących po sobie chwilach czasu. Jest to linia ciągła ponieważ możemy rejestrować te położenia w dowolnie małym odstępie czasu.
· Wektor wodzący - wektor "śledzący" swoim końcem położenie przemieszczającego się punktu.
· Droga przebyta przez przemieszczający się punkt wynosi.
Definicja prędkości chwilowej punktu materialnego
W skończonym czasie cząstka przemieściła się z punktu P1 do P2 . Wektor przemieszczenia zaczyna się w P1 a kończy w P2. Prędkość definiujemy jako iloraz wektora przemieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło. Jest to oczywiście wielkość wektorowa. W miarę skracania przedziału czasu tak zdefiniowana prędkość zaczyna być coraz bliższa stycznej do toru w punkcie P1. Graniczna wartość ilorazu nieskończenie małego przemieszczenia dr, które nastąpiło w nieskończenie krótkim czasie dt jest prędkością chwilową w czasie t.
. Definicja prędkości chwilowej.
Ponieważ wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k, to wektor przemieszczenia:
Dr = r(t+Dt) - r(t) =[x(t+Dt)-x(t)] i + [y(t+Dt) - y(t)]j + [z(t+Dt) - z(t)]k.
Wstawiając to do definicji prędkości otrzymamy:
,
oraz po pogrupowaniu wyrazów i skorzystaniu z twierdzenia o granicy sumy funkcji:
czyli ostatecznie:
.
Korzystając z wzoru określającego prędkość jako pochodną wektora wodzącego i formalnie podstawiając ogólne wyrażenie opisujące wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k uzyskamy:
Ponieważ wersory i, j oraz k nie zmieniają kierunku (mają też oczywiście stałą długość) to ich pochodne po czasie są zerowe. Jak się wkrótce przekonamy w innych układach odniesienia nie zawsze musi to być prawdą.)
Uwaga:
Spróbuj policzyć samodzielnie składową prędkości w kierunku osi x oraz w kierunku osi y dla rzutu ukośnego.
PRZYSPIESZENIE I JEGO SKŁADOWE W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM
Definicja przyspieszenia chwilowego.
Jest to analogia do definicji wektora prędkości chwilowej. Przyspieszenie określa nam szybkość zmiany wektora prędkości. Wektor przyspieszenia chwilowego w czasie t jest granicą ilorazu zmiany prędkości dv do czasu dt, w którym ona nastąpiła, czyli formalnie:
Przykład:
Jak zmienia się wektor przyspieszenia całkowitego podczas rzutu ukośnego punktu materialnego?
Wektor przyspieszenia w układzie kartezjańskim - zapis w formalizmie wersorowym.
Przyspieszenie można przedstawić w układzie kartezjańskim jako wektor o trzech współrzędnych:
a = ax i + ay j + az k
Składowe: axi, ayj, azk są wektorami powstałymi przez prostokątne rzutowanie wektora a na osie OX, OY oraz OZ.
Zachodzą związki:
ax = , ay = , az = , które wynikają z definicji wektora przyspieszenia jako pochodnej wektora prędkości oraz przedstawienia wektora prędkości w formie zapisu z użyciem wersorów: v = vx i + vy j + vz k
PRZYSPIESZENIE STYCZNE I NORMALNE.
Układ współrzędnych naturalny - definicja.
Załóżmy, że cząstka porusza się po torze krzywoliniowym. W chwili t znajduje się ona w punkcie toru P1 a w chwili (t +Dt) w punkcie P2.
Definiujemy w punkcie toru P1 wersor styczny do toru es oraz w kierunku prostopadłym do toru wersor normalny en. Wersory te przemieszczają się wraz z cząstką wzdłuż toru ruchu i w przypadku toru krzywoliniowego będą zmieniały swój kierunek.
Porównaj kierunki wersorów na rysunku w chwili t w punkcie P1 i w chwili (t +Dt) w punkcie P2.
Prędkość w układzie naturalnym.
Prędkość w układzie naturalnym można zapisać bardzo prosto: v = v(t) es. Wyrażony jest w ten sposób fakt, że wektor prędkości jest styczny do toru.
Przyspieszenie w układzie naturalnym. Pokazanie, że: a= es + en
Zgodnie z definicją przyspieszenia: a== = es + v. Przy wersorze stycznym mamy wielkość , która informuje jak zmienia się wartość wektora prędkości. Dla uzyskania pełnej zależności dla przyspieszenia należy przeanalizować pochodną czasową wersora stycznego.
Obliczenie pochodnej wersora stycznego po czasie: = en
Na rysunku obok pokazane są sprowadzone do wspólnego punktu wersory styczne do toru w chwili t (w punkcie toru P1) oraz t+dt . Kąt jaki one tworzą wynosi dj, można więc znaleźć długość przyrostu wersora stycznego:
= dj= dj, bo długość wersora wynosi jeden. Pozostaje jeszcze znaleźć kierunek przyrostu wersora des.
Dowód, że jest prostopadłe do es.
Biorąc iloczyn skalarny wersorów =1. Obliczając pochodną po czasie obu stron otrzymamy dla strony lewej:
oraz dla prawej:
. Czyli łącząc te związki mamy: . Ponieważ ani długość wersora ani jego pochodna nie są równe zeru, to musi zachodzić sytuacja, że wersor styczny jest prostopadły do swojej pochodej czasowej.
Mamy więc znaleziony kierunek przyrostu wersora stycznego. Jest on zgodny z kierunkiem wersora normalnego, czyli:
des=dj en. Stąd mamy związek dla pochodnej wersora stycznego: = en.
Obliczenie as i an oraz ich interpretacja fizyczna.
Wracając do wzoru opisującego przyspieszenie w układzie naturalnym i wstawiając otrzymany wynik dla pochodnej wersora stycznego otrzymamy:
a== es + v en.
Kąt dj jest również kątem jaki tworzą dwie proste prostopadłe do toru w kolejnych punktach toru (P1 i P2) odpowiadających położeniu cząstki w czasie t i czasie t+dt. Proste te przecinając się tworzą odcinki o długościach równych promieniowi krzywizny oznaczanemu przezr. Ponieważ łuk P1P2 ma długość ds, to można zapisać związek ds = r dj, czyli.
Ponieważ wartość prędkości v = , to. Otrzymujemy więc wynik:
a== es +en.
UWAGA - Wnioski końcowe. To jest najważniejsze !!
Wartość przyspieszenia stycznego określa nam jak zmienia się wartość prędkości w ruchu, natomiast wartość przyspieszenia normalnego określa jaka jest krzywizna toru czyli zawiera informację o zmianie kierunku wektora prędkości.
· Problem:
· Kiedy v=const, a przyspieszenie całkowite a 0? [odpowiedź na końcu tekstu]
Klasyfikacja ruchów ze względu na przyspieszenie.
Przyspieszenie: a== es + en = a s es +a n en
· kierunek prędkości stały, wartość stała - ruch prostoliniowy jednostajny.
a s= 0, a n=0, r
· kierunek prędkości stały, wartość zmienna - ruch prostoliniowy zmienny
a s niezerowe, a n= 0, r
· kierunek prędkości zmienny, wartość stała - ruch krzywoliniowy po okręgu
a s = 0, a n stałe i różne od zera, r=R i stałe równe promieniowi okręgu.
· kierunek prędkości zmienny, wartość zmienna - ruch krzywoliniowy zmienny
a s zmienne, a n zmienne, r zmienne.
...
aliens12