Geometria różniczkowa Jelonek.pdf

GEOMETRIAR ´ O ˙ ZNICZKOWA

Wlodzimierz Jelonek

ROZMAITO ´ SCI.

Przestrze´ntopologicznaPrzestrzenia ‘ topologiczna ‘ ( M; O)nazywamyzbi´or

M zwyr´o˙zniona ‘ rodzina ‘ Opodzbior´owzbioru M ,je´slispeÃlnionesa ‘ naste ‘ puja ‘ ce

warunki:

(i)

;;M2 O

(ii)

U;V2 Oto U\V2 O

[

(iii)

fU ® g ®2I ½ Oto

U ® 2 O :

®2I

Przestrze´ntopologiczna ‘ ( M; O)nazywamyprzestrzenia ‘ Hausdor®aje´slidladowol-

nych x;y2M istnieja ‘ zbioryotware U;V2 Otakie.˙ze x2U;y2V oraz U\V = ; .

Baza ‘ B przestrzenitopologicznej( M; O)nazywamyrodzine ‘ zbior´owotwartych B o

tejwÃlasno´sci,˙zedlaka˙zdego x2M izbioruotwartego U3x istnieje V2B taki,

˙ze x2V½U .M´owimy,˙ze( M; O)speÃlniasilnyaksjomatprzeliczalno´sci,je´sli M

mabaze ‘ przeliczalna ‘ .Otwartympokryciemprzestrzenitopologicznejnazywamy

rodzine ‘ fU ® g ®2I zbior´owotwartych,taka ‘ ,˙ze S

®2I U ® = M .

Odwzorowanie f : M!N przestrzenitopologicznych( M; O 1 ),( N; O 2 )nazy-

wamyodwzorowaniemcia ‘ gÃlym,je´slidlaka˙zdego x2M izbioruotwartego U2 O 2 ,

takiego,˙ze f ( x ) 2U istniejezbi´orotwarty V2 O 1 ,taki,˙ze x2V i f ( V ) ½U .

M´owimy,˙ze f jesthomeomorﬁzmemje´sli f jestwzajemniejednoznaczneicia ‘ gÃle

iodwzorowanieodwrotnete˙zjestcia ‘ gÃle.

Atlas.AtlasemAnaprzestrze´nitopologicznej M ,nazywamypokrycie fU ® g ®2I

przestrzeni M zbioramiotwartymiorazrodzine ‘ homeomorﬁzm´ow Á ® : U ® ! R n

naotwartepodzbiory Á ® ( U ® ) ½ R n speÃlniaja ‘ cewarunek:Dlaka˙zdych ®;¯2I

odwzorowanie Á ® ±Á ¡ 1 ¯ : Á ¯ ( U ® \U ¯ ) !Á ® ( U ® \U ¯ )jestodwzorowaniemklasy

C 1 .ZatemAjestrodzina ‘ A= f ( U ® ;Á ® ) g ®2I .Pare ‘ ( U ® ;Á ® )przyustalonym

®2I nazywamymapa ‘ atlasuA.DwaatlasyA ; Bnarozmaito´sci M nazywamy

zgodnymi,je´slidladowolnychmap( U;Á ) 2 A ; ( V;Ã ) 2 Bodwzorowania Á±Ã ¡ 1 :

Ã ( U\V ) !Á ( U\V ) ;Ã±Á ¡ 1 : Á ( U\V ) !Ã ( U\V )sa ‘ gÃladkie.

Strukturar´o˙zniczkowa.Struktura ‘ r´o˙zniczkowa ‘ narozmaito´sci M zatlasem

AnazywamymaxymalnyatlasBzgodnyzA,tzn.taki,˙zeka˙zdyatlasCzgodnyz

AjestzawartywB.

Typesetby A M S -T E X

2 WÃLODZIMIERZJELONEK

Stwierdzenie. Dowolnyatlas A jestzawartywpewnejstrukturzer´o˙zniczkowej

B .

Dow´od. ZdeﬁniujmyB= f ( U;Á ): Á : U!Á ( U ) ½ R n ;Á±Ã ¡ 1 ;Ã±Á ¡ 1 2

C 1 dlaka˙zdego( Ã; dom Ã )zatlasuA g .Poka˙zemy,˙zeBjestatlasem.Niech Á 1 ;

Á 2 2 Bi x2domÁ 1 \domÁ 2 .We˙zmymape ‘ ( U;Ã ) 2 Ataka ‘ ,˙ze x2U .Wtedy

Á 1 ±Ã ¡ 1 ;Ã±Á ¡ 1

2 2C 1 zatem Á 1 ±Ã ¡ 1 ±Ã±Á ¡ 1

2 = Á 1 ±Á ¡ 1

2 2C 1 . }

Rozmaito´scia ‘ ( M; A)nazywamytopologiczna ‘ przestrze´nHausdor®a M ,speÃlnia-

ja ‘ ca ‘ silnyaksjomatprzeliczalno´sciwrazzestruktura ‘ r´o˙zniczkowa ‘ Ana M .Liczbe ‘

n nazywamywymiaremrozmaito´sci( M; A).

Twierdzenieorze ‘ dzie.Funkcje ‘ f : M!N nazywamygÃladka ‘ ,je´slifunkcja

Ã±f±Á ¡ 1 jestgÃladka,dladowolnychmap( U;Á ) ; ( V;Ã )na M i N odpowiednio.

Rze ‘ demodwzorowaniagÃladkiego f wpunkcie x2M nazywamyrza ‘ dr´o˙zniczki

d ( Ã±f±Á ¡ 1 )wpunkcie Á ( x ).ÃLatwopokaza´c,˙zerza ‘ dniezale˙zyodwyborumap

atylkood f i x .Niechdim M = m ,dim N = n .Zachodzinaste ‘ puja ‘ cetwierdzenie

Twierdzenie. ZaÃl´o˙zmy,˙zef : N!MjestgÃladkimodwzorowaniemstaÃlego

rze ‘ duk·min ( n;m ) .W´owczasdlaka˙zdegopunktux2Mistnieja ‘ otoczenia

mapowe ( U;x 1 ;x 2 ;:::;x n ) , ( V;y 1 ;y 2 ;:::;y m ) punkt´owxif ( x ) odpowiednio,takie,

˙zewtychmapachfmaposta´c

f ( x 1 ;x 2 ;:::;x n )=( x 1 ;x 2 ;:::;x k ; 0 ; 0 ;:::; 0) :

Cowie ‘ cejf ( U )= fp2V : y k +1 ( p )= y k +2 ( p )= ::: = y m ( p )=0 g.

Dow´od. We´zmydowolnedwiemapy( U 0 ;x 0 1 ;x 0 2 ;:::;x 0 n ),( V 0 ;y 0 1 ;y 0 2 ;:::;y 0 m )w

otoczeniu x i f ( x )odpowiednio.Poniewa˙z,rza ‘ d[ @f i

@x 0 j ]= k ,topermutuja ‘ cewentu-

alniewsp´oÃlrze ‘ dnemo˙znazaÃlo˙zy´c,˙zemacierz

B B B B B B B B @

C C C C C C C C A

@f 1

@x 0 1 :: :: @f 1

@x 0 k

@f 2

@x 0 1 :: :: @f 2

@x 0 k

:: :: :: ::

@f k

@x 0 1 :: :: @f k

@x 0 k

maniezerowywyznacznikwotoczeniu U 00 ½U 0 punktu x .Rozwa˙zmyzamiane ‘

wsp´oÃlrze ‘ dnych

x 1 = f 1 ( x 0 1 ;x 0 2 ;:::;x 0 n ) ;x 2 = f 2 ( x 0 1 ;x 0 2 ;:::;x 0 n ) ;:::;

x k = f k ( x 0 1 ;x 0 2 ;:::;x 0 n ) ;x k +1 = x 0 k +1 ;x k +2 = x 0 k +2 ;:::;x n = x 0 n :

GEOMETRIAR ´ O ˙ ZNICZKOWA

Macierzr´o˙zniczkizamianyukÃladuwsp´oÃlrze ‘ dnychmaposta´c:

B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B @

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C A

@f 1

@x 0 1 :: :: @f 1

@x 0 k ¤¤¤¤¤

@f 2

@x 0 1 :: :: @f 2

@x 0 k ¤¤¤¤¤

:: :: :: :: ¤¤¤¤¤

@f k

@x 0 1 :: :: @f k

@x 0 k ¤¤¤¤¤

0 0 :: 0 100 :: 0

0 0 :: 0 010 :: 0

0 0 :: 0 0 :: :: :: 0

0 0 :: 0 0 :: :: :: 1

Zatemwyznaczniktejmacierzyjestw U 00 r´o˙znyod0.Ztwierdzeniaolokalnym

dyfeomorﬁ´zmiewynika,˙zeistniejeotoczenie U½U 00 punktu x wkt´orymukÃlad

funkcji( x 1 ;x 2 ;:::;x n )jestukÃlademwsp´oÃlrze ‘ dnych.WtymnowymukÃladziewsp´oÃl-

rze ‘ dnychna U istarymna V funkcja f maposta´c:

f ( x 1 ;x 2 ;:::;x n )=

( x 1 ;;x 2 ;:::;x k ;g 1 ( x 1 ;x 2 ;:::;x n ) ;g 2 ( x 1 ;x 2 ;:::;x n ) ;:::;g m¡k ( x 1 ;x 2 ;:::;x n )) :

Macierzpochodnejodwzorowania f mawtychmapachposta´c:

1 0 :: 0 0 :: :: 0

B B B B B B B B B B B B B B B B @

C C C C C C C C C C C C C C C C A

0 1 :: 0 0 :: :: 0

0 0 :: 1 0 :: :: 0

@g 1

@x 1 :: :: @g 1

@x k +1 :: :: @g 1

@g 1

@x k

@x n

@g 2

@x 1 :: :: @g 2

@x k +1 :: :: @g 2

@g 2

@x k

@x n

:: :: :: :: :: :: :: ::

@g m¡k

@x 1 :: :: @g m¡k

@g m¡k

@x k +1 :: :: @g m¡k

@x k

@x n

Poniewa˙zmacierztamarza ‘ d k towynikasta ‘ d,˙ze @g p

@x k + i =0dla p2f 1 ; 2 ;::;m¡kg

i i2f 1 ; 2 ;:::;n¡kg .Zatemfunkcje g i zale˙za ‘ tylkoodzmiennych x 1 ;x 2 ;:::;x k .

Niech ¼ :R n ! R k be ‘ dziestandardowymrzutemnapierwsze k wsp´oÃlrze ‘ dnych.

Zbi´or ˜ U = ¼ ( x ( U )) ½ R k ,gdzie x ( p )=( x 1 ( p ) ;x 2 ( p ) ;:::;x n ( p ))jestzbioremot-

wartym,gdy˙z ¼ i x sa ‘ otwarte.Niech V 00 =( y 0 ) ¡ 1 ( ˜ U£ R m¡k ) ½V 0 gdzie

y 0 ( p )=( y 0 1 ( p ) ;y 0 2 ( p ) ;:::;y 0 m ( p )).Wtedy V 00 jestotwartymotoczeniempunktu f ( x ).

4 WÃLODZIMIERZJELONEK

Wprowadzimynowewsp´oÃlrze ‘ dnena V 00 wzorami:

y 1 = y 0 1 ;y 2 = y 0 2 ;:::;y k = y 0 k ;y k +1 = y 0 k +1 ¡g 1 ( y 0 1 ;::;y 0 k ) ;

y k +2 = y 0 k +2 ¡g 2 ( y 0 1 ;::;y 0 k ) ;:::;y m = y 0 m ¡g m¡k ( y 0 1 ;::;y 0 k ) :

Macierzpochodnejodwzorowaniazamianywsp´oÃlrze ‘ dnychmaposta´c:

1 0 :: 0 0 :: :: :: 0

B B B B B B B B B B B B B B B B @

C C C C C C C C C C C C C C C C A

0 1 :: 0 0 :: :: :: 0

0 0 :: 1 0 :: :: :: 0

¡ @g 1

@y 0 1 :: :: ¡ @g 1

@y 0 k 1 :: :: 00

¡ @g 2

@y 0 1 :: :: ¡ @g 2

@y 0 k 01 :: 00

:: :: :: :: :: :: :: :: ::

¡ @g m¡k

@y 0 1 :: ::¡ @g m¡k

@y 0 k 00 :: 01

Wyznaczniktejmacierzyjestr´o˙znyod0.Zatemewentualniezmniejszaja ‘ c V 00 do

otoczenia V½V 00 punktu f ( x )otrzymamywsp´oÃlrzedne( y 1 ;y 2 ;:::;y m )mapyna V .

Wtychwsp´oÃlrze ‘ dnych:

f ( x 1 ;x 2 ;:::;x n )=( x 1 ;x 2 ;:::;x k ; 0 ; 0 ;:::; 0) :

Zkonstrukcjiwsp´oÃlrze ‘ dnychwynikar´ownie˙zdrugacze ‘ ´s´ctwierdzenia. }

Spo´sr´ododwzorowa´nstaÃlegorze ‘ duwyr´o˙zniasieteorze ‘ dziemaksymalnymmo-

˙zliwym k = min ( m;n ),tzn.immersjeisubmersje.

Odwzorowanie f : N!M nazywamysubmersja ‘ je´sli n¸m irza ‘ d f = m .

Podobnie, f nazywamyimmersja ‘ je´sli n·m irza ‘ d f = n .

Stwierdzenie. Submersjajestodwzorowaniemotwartym,immersjajestlokal-

nymhomeomorﬁzmem.

Dow´od. ZtwierdzeniaostaÃlymrze ‘ dzieka˙zdasubmersjalokalniewewsp´oÃlrze ‘ -

dnychjestprojekcja ‘ ¼ ( x 1 ;x 2 ;:::;x n )=( x 1 ;x 2 ;:::;x m )awie ‘ codwzorowaniemot-

wartym.Zatemjestotwarte.Podobnieimmersjamaposta´c: i ( x 1 ;x 2 ;:::;x n )=

( x 1 ;x 2 ;:::;x n ; 0 ; 0 ;:::; 0)jestwie ‘ clokalnier´o˙znowarto´sciowaorazjesthomeomor-

ﬁzmemnaobrazztopologia ‘ indukowana ‘ . }

Podrozmaito´sci.Podrozmaito´scia ‘ rozmaito´sci M nazywamypare ‘ ( N;f )zÃlo˙zo-

na ‘ zrozmaito´sci N ir´o˙znowarto´sciowejimmersji f : N!M .

Podrozmaito´s´c( N;f )nazywamypodrozmaito´scia ‘ regularna ‘ ,je´sli f jesthomeo-

morﬁzmemna f ( N )ztopologia ‘ indukowana ‘ z M .

Zawszemo˙zemyzaÃlo˙zy´c,˙ze N½M przenosza ‘ ctopologie ‘ istrukture ‘ r´o˙zniczkowa ‘

z N na f ( N )zapomoca ‘ bijekcji f .Je´sli N½M topara( N;i )gdzie i ( x )= x jest

podrozmaito´scia ‘ .

GEOMETRIAR ´ O ˙ ZNICZKOWA

PrzykÃlad. Niech f : N!M be ‘ dziegÃladkimodwzorowaniem.W´owczs G ( f )=

f ( x;f ( x )): x2Ng½N£M jestregularna ‘ podrozmaito´scia ‘ rozmaito´sci N£M .

Istotnie,Ãlatwowida´c,˙zeodwzorowanie F : N!N£M daneprzez F ( x )=( x;f ( x ))

mastaÃlyrza ‘ dr´ownydim N ijestimmersja ‘ .Zatem( N;F )jestpodrozmaito´scia ‘

w N£M i F ( N )= G ( f ).Odwzorowanierzutowanianapierwsza ‘ wsp´oÃlrze ‘ dna ‘

¼ : N£M!N jestcia ‘ gÃle,zatemzawe ‘ ˙zenie p = ¼ jG ( f ) jestcia ‘ gÃlymodwzorowaniem

p : G ( f ) !N ,gdziena G ( f )jesttopologiaindukowana.Zdrugiejstrony F±

p = id G ( f ) ;p±F = id N .Zatem F jesthomeomorﬁzmemi G ( f )jestregularna ‘

podrozmaito´scia ‘ w N£M .

Stwierdzenie. ZaÃl´o˙zmy,˙zeN½Mjestpodrozmaito´scia ‘ M.W´owczasdla

dowolnegox 0 2NistniejeotoczenieVpunktux 0 wNorazotoczeniemapowe

( U;y 1 ;y 2 ;:::;y n ) punktuxwMtakie,˙ze

V = fx2U : y n +1 ( x )= y n +2 ( x )= ::: = y m ( x )=0 g:

Je´sliNjestpodrozmaito´scia ‘ regularna ‘ tomo˙znaprzyja ‘ ´c,˙zeV = U\N .

Dow´od. Odwzorowanie i : N!M jestimmersja ‘ ,awie ‘ codwzorowaniemo

staÃlymrze ‘ dzie.ZtwierdzeniaoodwzorowaniuostaÃlymrze ‘ dzieistnieja ‘ mapy

( V;x 1 ;::;x n )na N i( U;y 1 ;:::;y m )na M takie,˙ze i ( x 1 ;::;x n )=( x 1 ;::;x n ; 0 ; 0 ;:::; 0).

Cowie ‘ cej x2i ( V )wtedyitylkowtedy,gdy y n +1 ( x )= y n +2 ( x )= ::: = y m ( x )=0.

Sta ‘ d V = fx2U : y n +1 ( x )= y n +2 ( x )= ::: = y m ( x )=0 g .Wprzypadkupo-

drozmaito´sciregularnej,mo˙znazaÃlo˙zy´c,˙ze V = U 0 \M dlapewnegozbioru U 0

otwartegow M .Zatem N\U 0 = fx2U : y n +1 ( x )= y n +2 ( x )= ::: = y m ( x )=0 g .

Biora ‘ c W = U\U 0 otrzymamy: N\W = fx2W : y n +1 ( x )= y n +2 ( x )= ::: =

y m ( x )=0 g . }

Stwierdzenie. ZaÃl´o˙zmy,˙zeN½Mjestpodzbioremrozmaito´sciM,takim,

˙zedlaka˙zdegox2Nistniejeotoczeniemapowe ( U;x 1 ;::;x n ) punktuxtakie,˙ze

N\U = fx2U : x n +1 ( x )= x n +2 ( x )= ::: = x m ( x )=0 g.W´owczasNjest

regularna ‘ podrozmaito´scia ‘ M.

Dow´od. Rozwa ‘ ˙zmymapypostaci( U\N;x 1 ;::;x n )na N .Tworza ‘ oneatlas

na N .Istotnie Á : U\N! R n daneprzez Á ( x )=( x 1 ( x ) ;::;x n ( x ))jesthomeo-

morﬁzmem.Je´sli( V;y 1 ;::;y m )innatakamapato y i = y i ( x 1 ;x 2 ;::;x n ; 0 ; 0 ;:: 0)sa ‘

gÃladkimifunkcjamiprzej´scia. }

Twierdzenie. Niechf : N!Mbe ‘ dziegÃladkimodwzorowaniemiy 0 2f ( M ) .

Je´sliwka˙zdympunkciezbioruP = f ¡ 1 ( y 0 ) fjestsubmersja ‘ ,toPjestregularna ‘

podrozmaito´scia ‘ wNwymiarun¡m.

Dow´od. Niech x 0 2P idobierzmymapy( U;x 1 ;x 2 ;::;x n )wotoczeniu x 0 i

( V;y 1 ;::;y m )wotoczeniu y 0 speÃlniaja ‘ ceteze ‘ twierdzeniaostaÃlymrze ‘ dzie.Mo˙zna

zaÃlo˙zy´c,˙zepunkt y 0 mawsp´oÃlrze ‘ dne(0 ; 0 ;::; 0).Zatem P\U = fx2U : x 1 =

x 2 = :: = x m =0 g .Sta ‘ d P regularnapodrozmaito´s´cwymiaru n¡m . }

Analogiczniemo˙znadowie´s´ctwierdzenie:

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: