Kotłowska M - Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.pdf

(432 KB) Pobierz
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/strict.dtd">
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Maria Kotłowska
Przedmiot rachunku prawdopodobieństwa – ścisłe ujęcie
częstościowego bądź też statystycznego sensu słowa
prawdopodobnie.
Pojęcie prawdopodobieństwa łączymy z reguły z wynikiem
obserwacji lub eksperymentu bądź to rzeczywistego bądź to
myślowego.
W rachunku prawdopodobieństwa możliwy wynik eksperymentu, o
którego prawdopodobieństwie chcemy mówić nazywamy
zdarzeniem.
Zdarzenia elementarne utożsamiamy z elementami pewnego
podstawowego zbioru, reprezentującego pojedyncze, elementarne,
nierozkładalne na drobniejsze części wyniki rozpatrywanego
eksperymentu.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych – zbiór elementów stanowiących
wszystkie elementarne, niepodzielne wyniki doświadczeń czy
obserwacji. Oznaczamy ją literą Ω, a jej elementy zwane
zdarzeniami elementarnymi literą ω, ewentualnie ze wskaźnikiem .
Ogólnie zdarzeniami w teorii prawdopodobieństwa nazywamy
podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych czyli zbiory zdarzeń
elementarnych.
1
DZIAŁANIA NA ZDARZENIACH
1. Sumą dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C złożone z tych
wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą co najmniej do
jednego ze zdarzeń A , B , co oznaczamy;
A ∪ B = C
Sumowanie uogólnia się na dowolną liczbę składników.
Tak więc sumą n zdarzeń A 1 ,A 2 ,.....,A n nazywamy zdarzenie
n
C
=
A
∪
A
∪
....
∪
A
=
∪
A
1
2
n
i
i
=
1
złożone z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą co
najmniej do jednego ze zdarzeń A 1 ,A 2 ,.....,A n .
Podobnie definiujemy sumę nieskończonego ciągu zdarzeń.
2. Iloczynem dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C złożone z
tych zdarzeń elementarnych, które są zawarte jednocześnie i w A i w
B , co oznaczamy:
A ∩ B = C
Iloczyn większej ilości zdarzeń
n
C
=
A
∩
A
∩
......
∩
A
=
∩
A
1
2
n
i
i
=
1
to zdarzenie C złożone z tych wszystkich zdarzeń elementarnych ,
które należą jednocześnie do każdego ze zdarzeń A 1 ,A 2 ,....,A n .
Podobnie definiujemy iloczyn nieskończonego ciągu zdarzeń.
3. Różnicą dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C złożone z
tych zdarzeń elementarnych, które należą do zdarzenia A , ale nie
należą do zdarzenia B , co oznaczamy
A|B = C
2
4. Dopełnieniem zdarzenia A nazywamy zdarzenie B złożone z tych
wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie należą do zdarzenia A .
Dopełnienie oznaczamy A` ; A` = B oznacza, że B jest dopełnieniem
A` .
5. Zdarzenie pewne – to cala przestrzeń Ω zdarzeń elementarnych
(reprezentuje wszystkie możliwe wyniki eksperymentu, a więc musi
się zdarzyć wynik należący do Ω).
6. Zdarzenie niemożliwe – oznaczymy przez Ø , czyli A = Ø jest
zdarzeniem niemożliwym, a więc nie zawiera żadnego zdarzenia
elementarnego.
7. Zdarzenia A i B są rozłączne wtedy, gdy ich iloczyn jest
zdarzeniem niemożliwym, A ∩ B =Ø , co oznacza, że A i B nie
zawierają wspólnych zdarzeń elementarnych.
8. Zdarzenie A zawiera się w zdarzeniu B wtedy, gdy jeśli realizuje
się zdarzenie A , to realizuje się zdarzenie B . Oznaczamy A ⊂ B , czyli
wszystkie zdarzenia elementarne zawarte w A są jednocześnie zawarte
w zdarzeniu B .
9. A ∪ A` = Ω , suma zdarzenia A i jego dopełnienia A` jest
zdarzeniem pewnym Ω.
10. A ∩ A` = Ø, iloczyn zdarzenia A i jego dopełnienia A` jest
zdarzeniem niemożliwym, czyli są to zdarzenia rozłączne.
11. A ∪ A = A
A ∩ A = A
( A` ) ` = A
12. A | B = A ∩ B` , co oznacza, że każde zdarzenie elementarne
należące do A i B` nie należy do B.
Związki między dodawaniem i mnożeniem zdarzeń opisują równości
zwane prawami de Morgana.
3
′
(
)
1
A
∪
B
=
A
′
∩
B
′
′
(
)
′
′
A
∩
B
=
A
∪
B
′
′
′
′
(
)
2
A
∪
A
∪
....
∪
A
=
A
∩
A
∩
....
∩
A
1
2
n
1
2
n
′
′
′
′
(
)
A
∩
A
∩
...
∩
A
=
A
∪
A
∪
....
∪
A
1
2
n
1
2
n
′
′
′
(
)
3
A
∪
A
∪
.....
=
A
∩
A
∩
....
1
2
1
2
′
′
′
(
)
A
∩
A
∩
.....
=
A
∪
A
∪
....
1
2
1
2
Z powyższych praw wynikają następujące związki:
′
(
)
1
A
∪
B
=
A
′
∩
B
′
′
(
)
A
∩
B
=
A
′
∪
B
′
′
′
′
′
⎛
⎞
2
A
∪
A
∪
...
∪
A
=
A
∩
A
∩
...
∩
A
⎝
⎠
1
2
n
1
2
n
′
′
′
′
⎛
⎞
A
∩
A
∩
....
∩
A
=
A
∪
A
∪
...
∪
A
⎝
⎠
1
2
n
1
2
n
′
′
′
⎛
⎞
3
A
∪
A
∪
....
=
A
∩
A
∩
...
⎝
⎠
1
2
1
2
′
′
′
⎛
⎞
A
∩
A
∩
....
=
A
∪
A
∪
...
⎝
⎠
1
2
1
2
4
A
∪
Ω
=
Ω
4
5. Jeżeli A ⊂ B , to A ∩ Ø = Ø
6. Ø ∩ Ø = Ø
7. Ø` = Ω , Ω ` = Ø
Zbiór wszystkich zdarzeń nazywamy ciałem zdarzeń i oznaczamy S .
Jednak nie każdy zbiór zdarzeń elementarnych możemy uważać za
zdarzenie i zaliczyć do zbioru S . Wiąże się to z istnieniem przestrzeni
nieprzeliczalnych. Dlatego w ogólnej teorii zamiast mówić o
zdarzeniach po prostu jako o podzbiorach przestrzeni zdarzeń
elementarnych mając na myśli wszystkie takie podzbiory, wprowadza
się zbiór S wszystkich zdarzeń i formułuje się jedynie postulaty co do
domknięcia zbioru S ze względu na pewne działania na zdarzeniach.
Postulaty dotyczące zbioru S wszystkich zdarzeń
1 . Dopełnienie A` każdego zdarzenia A jest zdarzeniem, czyli jeżeli
A ∈ S ⇒ A` ∈ S.
2 . Suma każdego skończonego lub przeliczalnego zbioru zdarzeń A i
jest zdarzeniem, czyli jeśli dla każdego i przebiegającego zbiór
skończony lub przeliczalny, A i ∈ S ⇒ ∪ A i ∈ S.
i
Z powyższych postulatów wynikają następujące twierdzenia:
1 . Zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe są elementami zbioru S ,
czyli jeśli
Ω ∈ S ∧ Ø ∈ S.
2 . Iloczyn dwóch zdarzeń jest zdarzeniem, czyli jeśli
A ∈ S ∧ B ∈ S ⇒( A ∩ B ) ∈ S .
3 . Iloczyn skończenie lub przeliczalnie wielu zdarzeń jest
zdarzeniem, czyli jeśli dla skończenie lub przeliczalnie wielu i mamy
A i ∈ S ⇒∩ A i ∈ S.
i
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin