95 4. Podstawowe człony automatyki
Prawie w każdym przypadku złożony układ dynamiczny można rozpatrywać jako zespół odpowiednio ze sobą połączonych członów elementarnych, a więc charakteryzujących się najprostszymi właściwościami dynamicznymi. Takie elementarne człony noszą nazwę podstawowych elementów automatyki. Wyróżnimy podstawowe grupy tych elementów:
- bezinercyjne (proporcjonalne),
- inercyjne:
· pierwszego rzędu,
· oscylacyjne,
· dwuinercyjne
- całkujące:
· idealne,
· rzeczywiste,
· izodromowe
- różniczkujące:
- opóźniające.
Poniżej zostaną one szczegółowo omówione. Wszystkie wykresy prezentowane w tym rozdziale wykonane zostały dla konkretnych danych liczbowych z wykorzystaniem programu CorelDRAW9 i Matlab 4.
Najprostszym członem układów dynamicznych jest człon proporcjonalny. Charakteryzuje go równanie wiążące sygnał wyjściowy z sygnałem wejściowym
(4.1)
a transmitancja operatorowa ma postać
(4.2)
gdzie: y – wielkość wyjściowa, x – wielkość wejściowa.
Jego właściwości są charakteryzowane jedynie przez współczynnik wzmocnienia k. Człon ten nie ma zdolności pamiętania stanów czy sygnałów poprzedzających chwile obserwacji, o wartości sygnału wyjściowego w chwili t decyduje tylko wartość sygnału wejściowego w tej samej chwili t . Nie możemy więc w tym przypadku mówić o stanie układu ani o równaniu stanu. Dlatego człon ten często jest również nazywany członem bezinercyjnym.
Równanie charakterystyki statycznej ma postać
lub
gdzie C jest stałą określającą przesunięcie charakterystyki w stosunku do początku układu współrzędnych.
Odpowiedź na wymuszenie skokowe będzie
Wykresy obrazujące charakterystykę statyczną i skokową elementu bezinercyjnego przedstawione są na rys. 4.1.
Transmitancja widmowa elementu bezinercyjnego ma postać:
(4.3)
Część rzeczywista i urojona :
(4.4)
Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa:
(4.5)
(4.6)
Rysunek 4.2 przedstawia wykresy omawianych charakterystyk.
Przykłady kilku elementów bezinercyjnych podano na rys. 4.3, a niżej zestawione zostały równania tych elementów.
1. Jeżeli sygnał wejściowy x i wyjściowy y są przesunięciami (rys. 4.3a) mamy
Jeżeli sygnał wejściowy Fx i wyjściowy Fy są siłami (rys. 4.3a), mamy
2. Przy analogicznych oznaczeniach jak w przykładzie 1 (rys. 4.3b) otrzymamy
3. Zakładając brak obciążenia i oznaczając U1, U2 - napięcia wejścia i wyjścia, R1, R2 - rezystancje (parametry układu), otrzymamy (rys. 4.3c)
4. Jeżeli pominiemy masę części ruchomych i tarcie lepkie oraz oznaczymy: A[m2]- powierzchnia efektywna (czynna) membrany, p[N/m2] - ciśnienie, c[N/m] - sztywność sprężyny,
y[m] - przesunięcie trzpienia siłownika, to wyjście y związane będzie z wejściem p zależnością proporcjonalną (rys. 4.3c)
Człon inercyjny pierwszego rzędu (krótko: człon inercyjny) jest opisany równaniem
(4.7)
przy czym: T - stała czasowa;
k - współczynnik wzmocnienia
(4.8)
Człony tego typu występują bardzo często w przyrodzie, gdyż charakteryzują proces gromadzenia masy i energii z oddziaływaniem wstecznym.
Równanie charakterystyki statycznej otrzymamy z równania (4.7) przyjmując pochodną równą zero. Będzie ono miało postać:
Wykres tej charakterystyki jest identyczny jak podany na rys. 4.1a.
Odpowiedź na wymuszenie skokowe obliczymy posługując się tabl. 3.1.
Z definicji mamy:
Dla wymuszenia skokowego o amplitudzie a, . A zatem wzór na charakterystykę skokową elementu inercyjnego przyjmie postać:
ostatecznie
Rys. 4.4. Odpowiedź elementu inercyjnego pierwszego rzędu na wymuszenie skokowe
Stałą czasową T można określić z wykresu, przeprowadzając styczną w dowolnym punkcie krzywej wykładniczej h(t) i wyznaczając odcinek podstycznej na asymptocie
Stałą czasową T można również określić jako czas od chwili t = 0 do chwili, kiedy h(t) osiąga 63,2% swojej końcowej wartości ustalonej ka. Podstawiając t = T otrzymamy
Wartość współczynnika wzmocnienia elementu inercyjnego określamy z wykresu
charakterystyki skokowej jako stosunek h(¥)/a, gdzie h(¥) przedstawia maksymalną wartość charakterystyki skokowej (dla t ® ¥) równą ka.
Wykres charakterystyki skokowej elementu inercyjnego o transmitancji wraz z konstrukcjami geometrycznymi, obrazującymi sposoby wyznaczenia jego parametrów przedstawiony jest na rys. 4.4.
Transmitancja widmowa elementu inercyjnego ma postać:
(4.9)
Część rzeczywistą i urojoną wyznaczamy mnożąc licznik i mianownik transmitancji przez liczbę zespoloną sprzężoną z mianownikiem
Stąd
(4.10)
Wykres G(jw) ma postać półokręgu o średnicy k, ze środkiem w punkcie (k/2, j0) (rys. 4.5). Przy zmianie wartości stałej czasowej T kształt krzywej pozostaje taki sam, zmienia się jedynie rozkład punktów odpowiadających pulsacjom w1, w2 itd.
Rys. 4.5. Charakterystyka amplitudowo-fazowa G(jw) członu inercyjnego
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa ma postać:
Ostatecznie
(4.11)
Wykres L(w) można uprościć, pomijając we wzorze (4.11) dla w <1/T składnik T2w2, a dla w > 1/T składnik ...
juch11111