Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

TECHNIKI ODWRACANIA MACIERZY

I.                           Elementarne wyznaczanie macierzy odwrotnej.

Przykład 1.

Stąd mamy AA-1 = I2 czyli:

czyli:

Stąd otrzymujemy układ czterech równań z czterema niewiadomymi, który daje się zapisać, ze względu na możliwość rozdzielenia zmiennych, jako dwa niezależne układy dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

-

Skąd otrzymujemy:

a21=-1 ; a11=2 ; a22=2 ; a12=-3 . Czyli:

II. Metoda dopełnień algebraicznych.

Twierdzenie 1.

Jeżeli detA¹0 to

(A-1)-1=A

Twierdzenie 2.

Jeżeli macierze A i B są tego samego stopnia i są nieosobliwe, to:

(AB)-1=B-1A-1

Twierdzenie 3.

Jeżeli detA¹0 to

det(A-1)=(detA)-1

Twierdzenie 4.

Jeżeli detA¹0 i stA = n to:

A-1=(detA)-1DT ;                                                                      (1)

gdzie D =[Dij]nxn oraz Dij=(-1)i+jMij

Przykład 2.

Wyznaczyć A-1 gdy:

   Stąd stA=3 ; detA=-1¹0

Wyznaczymy macierz dopełnień D:

Stąd:

Zadanie 2 (domowe)

Wyznaczyć: detA; D; DT; A-1 dla macierzy A postaci:

Zadanie 3 (domowe)

Sprawdzić, czy prawdziwa jest równość:

X=A-1B, gdzie:

a)

b)

II.                     WYZNACZANIE MACIERZY ODWROTNEJ METODĄ OPERACJI ELEMENTARNYCH

Definicja

Operacją elementarną na macierzy nazywamy:

a)                            przestawienie dwóch dowolnych wierszy (kolumn)

b)                           dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) odpowiednio elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez dowolną liczbę

c)                            pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez dowolną liczbę różną od zera.

Definicja

              Macierze A i B są równoważne, jeżeli A powstaje z B poprzez stosowanie operacji elementarnych. Fakt równoważności zapisujemy:

A » B

Definicja

              Macierz w której wyróżniono strukturę podmacierzy nazywamy blokową (jest złożona z bloków –macierzy prostokątnych).

Twierdzenie 5.

Niech stA=n. Jeżeli macierz blokowa C=[InïD] powstała w wyniku operacji elementarnych na wierszach macierzy B=[AïIn] to  D=A-1

Przykład

              Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A, gdzie:

Dopisujemy do macierzy A blok macierzy I3 z prawej strony:

Czyli mnożąc teraz macierz z prawej strony powy          zszej równości przez 1/8  otrzymamy:

Wynik sprawdzamy mnożąc macierz

A-1przez macierz A:

Zadanie domowe

              Obliczyć macierz odwrotną do macierzy A:

Definicja

              Rząd macierzy oznacza stopień maksymalnego niezerowego minora tej macierzy. Oznaczmy tę liczbę przez rgA.

Twierdzenie 6

              RgA £min(m,n), gdzie A=[aij]mxn

Twierdzenie 7

              Macierze równoważne mają ten sam rząd, czyli A»B to rgA=rgB

Twierdzenie 8

RgA=0 wtedy i tylko wtedy, gdy [aij]mxn=[Æ]mxn

II a)

WYZNACZNIE RZĘDU MACIERZY METODĄ PRZEKSZTAŁCEŃ ELEMENTARNYCH. (sprowadzanie do macierzy schodkowej)

Przykład

II b)

Rząd macierzy A można wyliczyć badając jej minory.

II c)

Rząd macierzy A można wyznaczyć stosując metodę macierzy bazowej uzyskiwanej z A w wyniku operacji elementarnych. Macierz bazowa C (kanoniczna) jest to macierz blokowa postaci:

              lub

st Il = l £ min (m, n)

Wówczas   rg A = l