Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

Matematyka - Ćwiczenia

Ćwiczenia 1

22.03.2002

Co trzeci piątek jest kartkówka.

Są dwa kolokwia

1. Na 5 zajęciach

2. Na 10 zajęciach

Macierze

Macierz jest to pojęcie związane z ciągiem dwuznacznikowym.

Dodawanie jest możliwe jeżeli macierze mają takie same wymiary

Mnożenie macierzy:

Zadanie 1

Zadanie 2

Uwaga!

Mnożenie jest lewo stronne, to znaczy macierz a została pomnożona przez macierz B lewostronnie. Mnożenie nie jest przemienne.

Zadanie DOM

Obliczyć (3A+B)C*D+C

Macierz Transponowana

Macierz Kwadratowa

Musi być to macierz o elementach liczbowych

  det A = ad-bc =

Wyznacznik

Minory

Minory służą do wyliczania wyznaczników wyższego stopnia

Zadanie 1.

Obliczyć Minory dla pierwszego wiersza.

Dopełnienie algebraiczna elementu Aij

Wyznacznik stopnia trzeciego

Do tego rodzaju wyznacznika stosuje się specjalną metodę obliczania (metoda Sarrusa). Nie wolno stosować do wyznaczników innych stopni.

Zadanie

Zadanie

Wyznacznik stopnia n-tego

Rozwinięcie po j-tej kolumnie

Rozwinięcie po i-tym wierszu

UWAGA!

Dowód wiersza i kolumny jest dowolny. Najkorzystniej jest brać ten wiersz i tą kolumnę w której znajdują się zera.

=

=

Rozwinąć względem drugiej kolumny:

Wyznacznik macierzy A = 0 kiedy:

1.      Elementy dwóch wierszy lub dwóch kolumn są jednakowe

2.      Dowolne dwie kolumny lub dwa wiersze są do siebie proporcjonalne.

lub

Zadanie

Rozwinięcie względem 2 wiersza

=…=-31

Macierz dopełnień algebraicznych

UWAGA!

Macierz dopełnień algebraicznych pozwala na wyznaczenie macierzy odwrotne A-1 do macierzy A. Macierz odwrotna to:

                            det A<>0             

Zadanie DOM

1. Obliczyć det A
2. Obliczyć AD
3. Macierz transponowaną dopełnień algebraicznych
4. Całość podzielić przez wyznacznik macierzy
5. Sprawdzić, że A*A-1 = I

Det A = (-2+4+12)-(-6+16+1)=14-11=3 ≠ 0

Matematyka

Ćwiczenia 3

19.04.2002

Znaleźć macierz odwrotną do macierzy o elementach:

1. Zastępujemy elementy wiersza 2 : (2) à (2)+(1)x(-1)

2. (3)+(2)

3. (3)+(2)(3)

4. (2)x(-1)

5.(1)+(3)

6. (2)+(3)

7.(1)-(2)

Matematyka – ćwiczenia IV

Kolos: Algebra

I.                    Układ s równań z s niewiadomymi w postaci as=b è detA ≠ 0

3 Metody:

1.

2. Wzory Cramera

3. Eliminacja Gaussa

II.                 Wyznaczanie rzędu macierzy

III.              Rozwiązywanie układu N równań z M niewiadomymi. Układ może być:

- sprzeczny

- oznaczony

- nieoznaczony

IV.              Sprawdzenie liniowej zależności wektorów. Układ jednorodny AX=0 è układ posiada rozwiązanie nie zerowe jeżeli detA=0

Zadanie 1.

Zbadać rząd macierzy:

R(A)=2

Rząd macierzy nie uległ zmianie po dokonaniu przekształceń elementarnych (dodawanie, przestawianie)

Ponieważ wyznacznik stopnia 4 jest różny od zera R(A)=4

Zastosowanie rzędu macierzy do rozwiązywania układu N równań z N niewiadomymi.

(Macierz układu może być prostokątna)

Macierz dołączona C jest to macierz składająca się z elementów A  i wyrazów wolnych

Układ jest sprzeczny, gdy R(A)≠R(C)

Jeżeli R(A)=R(C) to:

1.      R(A)=R(C)=N (N- liczba niewiadomych)

Układ oznaczony jedno rozwiązanie.

2.      R(A)=R(C)=r <n

Układ nieoznaczony, rozwiązanie zależy od n-r parametrów

Należy wyznaczyć macierz bazową, wyznaczyć rząd macierzy, sprawdzić, czy układ posiada rozwiązania

Ponieważ istnieje wyznacznik stopnia 3 różny od zera to R(A)≠R(C) èukład jest sprzeczny.

Zadanie 2.

Dla jakich wartości parametru A układ nie jest sprzeczny

Wyznacznik C musi być równy 0, aby R(C)=2

Odp: Układ posiada rozwiązanie, jeżeli A= 2/7

Zadanie 3.

Czy układ posiada rozwiązanie?

Układ posiada rozwiązania R(A)=R(C)=2<3

Układ posiada rozwiązania zależne od jednego parametru

Z=t

Zadanie 4.

Rozwiązać układ:

Układ posiada rozwiązanie względem Y i Z R(A)=2, N=4

Metoda Gaussa             

1.      (1)(2) zmienna x

x+y-z=2

0-4y+4z=0

2.      (1)(3) zmienna x

x+y-z=2

-4y+4z=0

0+0+2z=2

Otrzymujemy:

UWAGA!

Przy rugowaniu zmiennej X z I i III równania możemy otrzymać równanie zawierające zmienne Y i Z wówczas można wyrugować zmienną Y, aby otrzymać macierz trójkątną górną.

Wektory.

Jeżeli wektory SA liniowo niezależna to ich kombinacja liniowa oznacza III wektor.

Zadanie 5.

Przedstawić wektor x= [-1,0,1], za pomocą wektorów . Wektory a, b, c, SA liniowo niezależne.

ç kombinacja liniowa trzech wektorów

Rozwiązujemy układ i otrzymujemy współrzędne

Wektory są liniowo zależne, jeżeli istnieją niezerowe i kombinacja

Zadanie 6.

Zbadać liniową niezależność wektorów.

Jednorodny układ posiada zawsze rozwiązanie zerowe. Układ posiada rozwiązanie zerowe, jeżeli detA≠0 to otrzymujecie zerowe rozwiązanie. W tym celu wprowadzamy w miejsce f3 wartość t.

Jeżeli t ≠ 0 to dla dowolnego t mamy kombinację liniową.

Matematyka Ćwiczenia V

17.05.2002

Temat: Programowanie liniowe

Zadanie programowania liniowego polega na wyznaczeniu ekstremalnej wartości funkcji przy ograniczeniach. Ekstremum może być minimum albo maksimum.

(max)z = 2x1 +x2

przy ograniczeniach.

              2x1 + 2x2 <= 14  èL1: 2x1+2x2 = 14 è x1+x2 =7

              x1 + 2x2 <= 8  ç L2

              4x1 <= 16è L3: x1 = 4

x1,x2>=0

Ograniczenia wyznaczają zbiór rozwiązań dopuszczalnych. Poszukujemy maksimum w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych. Zadanie jest sprzeczne jeżeli zbiór rozwiązań jest pusty.

X2

7

B(0,4)

A(4,2)

C(4,0)

7

X1

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest wielokątem wypukłym. Można wykazać, że jeżeli istnieje rozwiązanie zadania programowania liniowego to jest osiągane w wierzchołku wielokąta wypukłego.

Z= 2x1 + x2

Z(A)= 10

Z(B) = 9

Z(C)=8

Zadanie

Zakład dziewiarski produkuje dwa wyroby (w1,w2) na dwóch maszynach(r1,r2), które mają normy pracy.

Cena zbytu:

W1 à 5 j.p

W2 à 7,5 j.p