BAD_OPER01

Badania operacyjne

Sformułowanie problemu

1. Wstęp

1.1. Wyodrębniły się:

·         modelowanie ekonometryczne (ekonometria w węższym sensie) - np. ustalanie związków przyczynowo-skutkowych ilościowych (przekrojowych i w czasie);

              Buduje się modele postaci w celu

§         weryfikacji teorii ekonomicznych,

§         prognozowania, przewidywania przyszłości,

§         symulacji.

·         badania operacyjne - metody optymalizacyjne, w których opis rzeczywistości jest połączony z wyborem najlepszej decyzji;

              Przykłady:

§         ustalanie kolejności wykonywania zadań,

§         problem komiwojażera,

§         harmonogram zajęć,

§         dobór pracowników do zajęć, problem rozmieszczenia,

§         problem optymalnego wyboru.

·         wielowymiarowa analiza statystyczna - badanie związków i współzależności między dużą               liczbą czynników (zmiennych).

              Jak wydobyć informację o współzależności i związkach w dużych zbiorach danych (sieci neuronowe, algorytmy genetyczne, analiza skupień, analiza czynnikowa, analiza dyskryminacji, data mining)

Do rozwiązywania problemów stosujemy metody:

-         matematyczne;

-         statystyczne (algorytmy rozwiązywania zadań, dane);

-         informatyczne (przetwarzanie danych, algorytmy).

1.2. Podstawowym pojęciem stosowanym jest model. Model (matematyczny) jest to opis rzeczywistości (np. gospodarczej) za pomocą funkcji matematycznych, równań i nierówności (lub układów równań i nierówności). Model jest zawsze pewnym uproszczeniem rzeczywistości, powinien jednak uwzględniać cechy obiektów najbardziej istotne dla rozwiązywanego problemu.

Przykłady:

·         modelem kuli ziemskiej jest globus, modelem wycinka kuli ziemskiej jest mapa,

·         wzory (strukturalne) w chemii są modelami struktury powiązań między atomami w cząsteczce,

·         za pomocą grafów można modelować powiązania między ludźmi, sieć komunikacji miejskiej, przepływ dokumentów lub transakcji finansowych.

Zajmujemy się modelowaniem procesów podejmowania decyzji.

2.  Metoda rozwiązania zadania

Musimy:

a)      opracować model matematyczny problemu;

b)     rozwiązać problem (jako zadanie matematyczne) metodami matematycznymi;

c)      zinterpretować rozwiązanie w terminach problemu początkowego (np. ekonomicznego).

Ważna jest ponadto weryfikacja rozwiązania, ponieważ model może być niewłaściwie skonstruowany dla danego problemu.

1)     Znalezieniem metody rozwiązania (algorytmu) zajmują się matematycy (na gruncie teoretycznym, aplikacyjnym - np. czy istnieje rozwiązanie, jak do niego dojść).

2)     Algorytmy realizują programy komputerowe.

Zadaniem ekonomisty (socjologa, fizyka, geografa, psychologa) jest umiejętność wykonania przejścia (1) i (2)

3.  Badania operacyjne

3.1. Badania operacyjne są ukierunkowane na podejmowanie decyzji. Zajmiemy się rozwiązywaniem problemów decyzyjnych, dotyczących optymalizacji w warunkach ograniczeń. Chodzi o to, żeby decyzje były jak najlepsze - zatem mamy cel działalności, który optymalizujemy.

3.2. W problemach ekonomicznych (również technicznych, fizycznych, innych) mamy często do czynienia z wyznaczaniem maksimum (lub minimum) funkcji rzeczywistej f w pewnym zbiorze argumentów. Ekonomiści (i nie tylko oni) mają duże „zachcianki” i ograniczone możliwości - czyli duże potrzeby i ograniczone zasoby.

Przykłady:

-         chcemy maksymalizować - sprzedaż, wielkość produkcji, zysk;

-         chcemy minimalizować - koszt przedsięwzięcia, czas wykonania zadania, straty;

Mamy ograniczone zasoby: kapitał, ludzie, materiały, czas.

Możemy wybierać sposób postępowania (sposób realizacji celu), ponieważ mamy wolną wolę, ale musimy uwzględnić ograniczoność zasobów. Jednak nawet przy spełnieniu tego warunku możemy podejmować różne decyzje.

3.3. Przykład

Piekarnia produkuje różne rodzaje pieczywa - chleb, bułki, bułeczki. Chce maksymalizować zysk ze sprzedaży, ale ma ograniczone: zasoby surowca, ludzi, możliwości produkcyjne. Może wybrać strukturę produkcji (ile chleba, ile bułek), ale ma ograniczenia (więcej chleba, to mniej bułek). Jest to problem decyzyjny. Decyzja jest to wybór jednego z możliwych wariantów postępowania (alternatyw). Decyzje możemy jakoś oceniać (np. jaki daje zysk).Są różne sposoby oceniania decyzji np. za pomocą liczb lub tylko porównując dwie decyzje i określając preferencje.

Należy wybrać najlepszy wariant z możliwych. Decydent (tj. podmiot podejmujący decyzję) ma więc pewne parametry (zmienne), którymi może sterować (lub przynajmniej je uwzględniać), ma cel działania (optymalizować ocenę decyzji), ma ograniczenia. Matematyk by powiedział: chcemy maksymalizować funkcję f(x) przy ograniczeniach .

3.4. Przykład (dosyć prosty).

Należy na wybranym terytorium zlokalizować elektrownię. Jest 9 miejscowości, ale jest możliwych tylko 6 miejsc lokalizacji. Wybór miejsca powinien gwarantować ponoszenie najmniejszych kosztów eksploatacji (np. transport surowca, dowóz pracowników).

Niech (i=1,...,9) - decyzje,  - zbiór decyzji,

- koszt decyzji (w ustalonej jednostce)

- decyzje dopuszczalne,

- funkcja celu (funkcja kryterium), tutaj jest minimalizowana czyli dla

Rozwiązanie: oraz (są to dwa rozwiązania alternatywne). Decyzja daje minimum bezwarunkowe, ale jest to decyzja niedopuszczalna.

4.  Rodzaje decyzji

Problemy decyzyjne dzieli się na 4 podstawowe klasy. Podział jest związany z ilością i jakością informacji, jaką dysponuje decydent.

Podejmowanie decyzji w warunkach:

-        pewności - proces jest zdeterminowany, ale zbiór decyzji dopuszczalnych jest liczny;

-        niepewności - proces jest stochastyczny (nie znamy prawdopodobieństwa wyniku),

-        ryzyka - proces jest stochastyczny, ale znamy prawdopodobieństwo wyniku,

-        częściowej informacji - proces jest stochastyczny, nie znamy prawdopodobieństwa wyniku, ale możemy je oszacować dzięki znajomości niektórych charakterystyk nieznanego rozkładu prawdopodobieństwa (np. wartość oczekiwana, wariancja).

Przykład

Jak najszybciej przejechać z punktu A do punktu B miasta.

                                                                                   są 3 drogi, mogą być „korki”,

znamy tyko parametry stochastyczne

czasu przejazdu

a)

b)                                                                               znamy czasy przejazdu na odcinkach,

ale jest dużo możliwych tras, jest to

zadanie kombinatoryczne

5.  Zagadnienie optymalnego wyboru (OW)

Zagadnienie optymalnego wyboru spełnia warunki:

1.      Jest zdefiniowane pojęcie decyzji. Zbiór X wszystkich decyzji nazywamy przestrzenią decyzyjną.

2.      Wyróżnia się podzbiór decyzji dopuszczalnych.

3.      Decyzja ma służyć realizacji określonego celu. Umiemy oceniać stopień realizacji celu przez każdą decyzję (dopuszczalną).

4.      Umiemy porównywać decyzje pod względem stopnia realizacji celu tzn. decyzja lepiej realizuje cel niż (lub tak samo lub nie gorzej). Rozumiemy, co to znaczy decyzja optymalna. Postępowanie prowadzące do jej wyznaczenia nazywamy procedurą optymalnego wyboru.

Związek modelu z rzeczywistością

Metody rozwiązywania zadań:

·         dokładne - należy rozwiązać układ równań lub nierówności

·         iteracyjne - na ogół rozwiązanie jest wtedy przybliżone

W większości problemów metody rozwiązania dokładnego nie są znane. Stosuje się wtedy metody przybliżone (iteracyjne lub symulacje).

6.  Zadanie programowania matematyczneg...