zestaw10.pdf

ALGEBRAI-LISTA10

17.01.2012

ZAD.1Udowodnij, ze dla dowolnego skonczonego ci , agua 1 ;a 2 ;:::;a n elementow z pierscienia

Gaussa istniej , a jednoznacznie wyznaczone (z dokladnosci , a do relacji stowazyszenia)NWDi

NWW. Opisz je za pomoc , a rozkladow elementowa i na czynniki nierozkladalne.

ZAD.2NiechRb , edzie pierscieniem Gaussa. Udowodnij, ze grupa jednosci pierscieniaR[X]

jest identyczna z grup , a jednosci pierscieniaR.

ZAD.3Wykaz, ze jesliRjest pierscieniem Gaussa, to kazdy element nierozkladalny pierscienia

R[X] jest elementem pierwotnym. Wykaz, ze implikacja w drug , a stron , e nie zachodzi.

ZAD.4Ktore z wielomianow 12x 2 + 8x+ 3, 6x 3 + 2x 2 + 4x 12, 12x 4 18x 2 4x 3 s , a

pierwotne wZ[x]?

ZAD.5Rozwazmy wielomianyf(x) = 2x+ 1 + p 5 ig(x) = 2x+ 1 p 5. Czy te wie-

lomiany s , a pierwotne w pierscieniu wielomianow nad pierscieniem Dedekinda? A ich iloczyn?

Dlaczego?

ZAD.6Wykaz, ze wielomianf(x;y) =x 2 +y 2 + 1 jest nierozkladalny wZ[x;y]

ZAD.7Znajdz calkowite pierwiastki wielomianux 3 2x 2 23x+ 60 2Z[x]

ZAD.8Znajdz wymierne pierwiastki wielomianu 3x 3 2x 2 7x 2 2Z[x]

ZAD.9Wykaz, ze wielomianx 3 + 2x+ 1 2Z[x] jest nierozkladalny wQ[x]

ZAD.10Wykaz, ze wielomianx 3 + 2x+ 1 2Z 3 [x] jest nierozkladalny wZ 3 [x]

ZAD.11Znajdz rozklad na czynniki nierozkladalne wielomianux 4 19x 2 100x91 2Z[x]

ZAD.12Wykaz, ze dla dowolnej liczby pierwszejpwielomian x p +1

x+1 2Q[x] jest nierozkladalny.

ZAD.13Wykaz, ze w cieleKcharaktyrestykip>0 zachodzi (a+b) p m =a p m +b p m dla

dowolnej liczby naturalnejmi dowolnych elementowa;b2K

ZAD.14NiechKb , edzie cialem skonczonym iLjego podcialem. Wykaz (bez korzystania

z faktu, ze moc ciala skonczonego jest pot , eg , a liczby pierwszej), ze jLj dzieli jKj.

ZAD.15Udowodnij, ze cialo ma charakterystyk , e 2 wtedy i tylko wtedy gdy 1 = 1.

ZAD.16NiechKb , edzie cialem skonczonym charakterystykipi niechkb , edzie liczb , a natu-

raln , a. Udowodnij, ze odwzorowanief:K!Kzadane wzoremf(x) =x p k jest izomorzmem.