zestaw10.pdf
(
43 KB
)
Pobierz
ALGEBRAI-LISTA10
17.01.2012
ZAD.1Udowodnij, ze dla dowolnego skonczonego ci
,
agua
1
;a
2
;:::;a
n
elementow z pierscienia
Gaussa istniej
,
a jednoznacznie wyznaczone (z dokladnosci
,
a do relacji stowazyszenia)NWDi
NWW. Opisz je za pomoc
,
a rozkladow elementowa
i
na czynniki nierozkladalne.
ZAD.2NiechRb
,
edzie pierscieniem Gaussa. Udowodnij, ze grupa jednosci pierscieniaR[X]
jest identyczna z grup
,
a jednosci pierscieniaR.
ZAD.3Wykaz, ze jesliRjest pierscieniem Gaussa, to kazdy element nierozkladalny pierscienia
R[X] jest elementem pierwotnym. Wykaz, ze implikacja w drug
,
a stron
,
e nie zachodzi.
ZAD.4Ktore z wielomianow 12x
2
+ 8x+ 3, 6x
3
+ 2x
2
+ 4x 12, 12x
4
18x
2
4x 3 s
,
a
pierwotne wZ[x]?
ZAD.5Rozwazmy wielomianyf(x) = 2x+ 1 +
p
5 ig(x) = 2x+ 1
p
5. Czy te wie-
lomiany s
,
a pierwotne w pierscieniu wielomianow nad pierscieniem Dedekinda? A ich iloczyn?
Dlaczego?
ZAD.6Wykaz, ze wielomianf(x;y) =x
2
+y
2
+ 1 jest nierozkladalny wZ[x;y]
ZAD.7Znajdz calkowite pierwiastki wielomianux
3
2x
2
23x+ 60 2Z[x]
ZAD.8Znajdz wymierne pierwiastki wielomianu 3x
3
2x
2
7x 2 2Z[x]
ZAD.9Wykaz, ze wielomianx
3
+ 2x+ 1 2Z[x] jest nierozkladalny wQ[x]
ZAD.10Wykaz, ze wielomianx
3
+ 2x+ 1 2Z
3
[x] jest nierozkladalny wZ
3
[x]
ZAD.11Znajdz rozklad na czynniki nierozkladalne wielomianux
4
19x
2
100x91 2Z[x]
ZAD.12Wykaz, ze dla dowolnej liczby pierwszejpwielomian
x
p
+1
x+1
2Q[x] jest nierozkladalny.
ZAD.13Wykaz, ze w cieleKcharaktyrestykip>0 zachodzi (a+b)
p
m
=a
p
m
+b
p
m
dla
dowolnej liczby naturalnejmi dowolnych elementowa;b2K
ZAD.14NiechKb
,
edzie cialem skonczonym iLjego podcialem. Wykaz (bez korzystania
z faktu, ze moc ciala skonczonego jest pot
,
eg
,
a liczby pierwszej), ze jLj dzieli jKj.
ZAD.15Udowodnij, ze cialo ma charakterystyk
,
e 2 wtedy i tylko wtedy gdy 1 = 1.
ZAD.16NiechKb
,
edzie cialem skonczonym charakterystykipi niechkb
,
edzie liczb
,
a natu-
raln
,
a. Udowodnij, ze odwzorowanief:K!Kzadane wzoremf(x) =x
p
k
jest izomorzmem.
1
Plik z chomika:
mwt3
Inne pliki z tego folderu:
zestaw08.pdf
(40 KB)
zestaw01.pdf
(65 KB)
zestaw05.pdf
(38 KB)
zestaw07.pdf
(45 KB)
zestaw09.pdf
(44 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin