Powierzchnie w przestrzeni R^3.pdf
(
43 KB
)
Pobierz
Politechnika Gda«ska. Materiaªy pomocnicze do zaj¦¢.
Oprac. Danuta Beger (Studium Nauczania Matematyki PG)
MATEMATYKA |
POWIERZCHNIE W PRZESTRZENI R
3
DEFINICJA
Powierzchni¡ stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów przestrzeni
R
3
speªniaj¡cych równanie
Ax
2
+
By
2
+
Cz
2
+
Dxy
+
Exz
+
Fyz
+
Gx
+
Hy
+
Jz
+
K
=0
w którym co najmniej jedna ze staªych
A;B;C;D;E;F;G;H;J;K
jest ró»na od zera.
Przykªady
Podane ni»ej równania opisuj¡ nast¦puj¡ce powierzchnie
1a)
(
x
a
)
2
+(
y
b
)
2
+(
z
c
)
2
=
r
2
{ sfer¦ o ±rodku w punkcie S(a, b, c) i promieniu równym r
1b)
x
2
+
y
2
+
z
2
+2
x
6
z
+6=0
{ sfera o ±rodku w punkcie S(-1, 0, 3) i promieniu równym 2.
2a)
(
x
x
0
)
2
a
2
+
(
y
y
0
)
2
b
2
+
(
z
z
0
)
2
c
2
=1
{ elipsoida o ±rodku w punkcie
P
(
x
0
;y
0
;z
0
)
2b)
36
x
2
+9
y
2
+4
z
2
=36
{ elipsoida o ±rodku w punkcie
P
(0
;
0
;
0)
2c)
25
x
2
+4
y
2
+100
z
2
50
x
+400
z
+325=0
{ elipsoida o ±rodku w punkcie
P
(1
;
0
;
2)
3)
x
2
+
y
2
2
y
=3
{ walec eliptyczny, którego przekrój pªaszczyzn¡ z = 0 jest elips¡ o ±rodku w punkcie
P
(0
;
1
;
0)
4)
4
x
2
+4
y
2
z
2
= 0
{ sto»ek eliptyczny, którego przekrój pªaszczyzn¡ o równaniu z = 2 jest okr¦giem o
±rodku w punkcie
S
(0
;
2
;
0)
i promieniu równym 1
5)
36
x
2
+9
y
2
4
z
2
+36 = 0
{ hiperboloida dwupowªokowa, której powªoki maj¡ wierzchoªki w punktach
P
1
(0
;
0
;
3)
i
P
2
(0
;
0
;
3)
6)
36
x
2
+9
y
2
4
z
2
36=0
{ hiperboloida jednopowªokowa, której przekrój pªaszczyzn¡ o równaniu z = 0
jest elips¡ o ±rodku w punkcie
S
(0
;
0
;
0)
i promieniach równych odpowiednio 1 i 2.
ZADANIA
1.
Prosz¦ ustali¢ jak¡ powierzchni¦ okre±la równanie
a)
x
2
=
y
2
z
2
+25
b)
x
2
+
y
2
+
z
2
2
x
+4
y
+1=0
c)
z
=
x
y
+4
d)
x
2
=
y
2
+25
e)
x
2
=
y
+2
f)
4
y
2
+
z
2
=
x
+4
g)
12
x
2
+9
z
2
=4
y
36
h)
y
2
+
z
2
4
x
=0
i)
3
x
2
+
z
=1
j)
y
2
+
z
2
16=0
k)
4
x
2
+
z
2
16=0
l)
4
y
+
z
=
1
2.
Prosz¦ narysowa¢ powierzchni¦ okre±lon¡ równaniem
g)
y
=
p
a)
x
2
=
y
2
+
z
2
b)
x
=
y
2
+
z
2
c)
x
2
=
z
2
y
2
+4
d)
z
=1
x
2
y
2
e)
z
=
x
2
+
z
2
p
p
1
x
2
y
2
h)
x
=
4
y
2
z
2
p
p
p
9
x
2
z
2
i)
y
=
f)
z
=
x
2
+
y
2
3.
Prosz¦ narysowa¢ bryª¦ ograniczon¡ powierzchniami:
a)
x
2
+
y
2
=1
;x
2
+
y
2
=
z
2
b)
x
2
+
y
2
+
z
2
=9
;x
2
+
y
2
+(
z
5)
2
=4
;x
2
+
y
2
+(
z
8)
2
=1
;
p
x
2
+
y
2
=
z
+
c)
x
2
y
2
+
z
2
=4
;x
2
+
z
2
=1
;y
=4
;y
=
4
d)
x
2
+
y
2
=2
;x
+
y
+
z
=2
;
x
+
y
+
z
=2
;x
y
+
z
=2
;
x
y
+
z
=2
;z
=0
;z
=
5
e)
z
=
p
x
2
y
2
+9
;y
2
+
z
1=0
;z
=0
Plik z chomika:
Gosia2808
Inne pliki z tego folderu:
Przykłady i klasyfikacja kwadryk.pdf
(1649 KB)
Powierzchnie 3D.pdf
(6202 KB)
Macierze odp.pdf
(25 KB)
Macierze1.pdf
(33 KB)
Macierze2.pdf
(32 KB)
Inne foldery tego chomika:
Poprawka ćwiczeń 2013
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin