Spójniki zdaniowe: negacja <nieprawda, że p> ~p lub ¬p; alternatywa <p lub q> pVq; koniunkcja <p i q> p^q; implikacja <jeśli p to q> p => q; równoważność <p wtedy i tylko wtedy gdy q> póq
Tautologia (prawo) rachunku zdań: to wyrażenie rachunku zdań z którego zawsze otrzymamy zdanie prawdziwe niezależnie od wartości podstawionych w miejsca zmiennych.
Podstawowe tautologie: prawo przemienności (pVq)ó(qVp) (p^q)ó(q^p); prawo łączności (pV(qVr))ó((pVq)Vr); (p^(q^r))ó(p^q)^r); prawo rozdzielności (p^(qVr))ó((p^q)V(p^r)); prawa deMorgana (~(pVq))ó((~p)^(~q)); (~(p^q))ó((~p)V(~q)); prawo zaprzeczenia implikacji (~(p=>q))ó(pΛ(~q)); prawo kontrapozycji (transpozycji) (p=>q)ó((~q)=>(~p)).
Prawa deMorgana dla rachunku kwantyfikatów: ~ ∀x∈X φ(x)ó∃x∈X ~φ(x); ~∃x∈X φ(x) ó ∀x∈X ~φ(x).
Prawa przestawienia: ∀x∈X ∀y∈Y φ(x,y)ó ∀y∈Y ∀x∈X φ(x,y); ∃x∈X ∃ y∈Y φ(x,y)ó∃ y∈Y ∃x∈X φ(x,y); ∃x∈X ∀y∈Y φ(x,y)ó ∀y∈Y ∃x∈X φ(x,y).
Inkluzja (zawieranie się)zbiorów: (AcB), gdy ∀x∈A(x∈B). Równość zbiorów: (A=B), gdy Ax (x∈Aóx∈B).
Działania na zbiorach: suma A∪B={x: x∈A V x∈B}; iloczyn A∩B={x: x∈A Λ x∈B}; różnica A\B={x: x∈A Λ x∉B};
Własności działań na zbiorach(prawo rachunku zdań): prawa przemienności A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; prawa łączności A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C; A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C; prawa rozdzielności A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); prawa deMorgana A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C); A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C).
Dopełnienie zbioru do przestrzeni: A’= X\A jeśli AcX.
Zbiory liczbowe: naturalny N=[1,2,..]; całkowity Z=[..,-2,-1,0,1,2,..]; parzysty {..,-4,-2,0,2,4,..}={2k:k∈Z}; nieparzysty {..,-3,-1,1,3,..}={2k-1: k∈Z}={2k+1: k∈Z}; wymierny Q={p/q: p∈Z, q∈N}; NcZcQ; niewymierny IQ; rzeczywisty R=Q∪IQ.
Przedziały na prostej rzeczywistej: otwarty (a,b)= {x∈R: a<x<b}; domknięty [a,b]={ x∈R: a≤x≤b}; L otwarty P domknięty (a,b]= { x∈R: a<x≤b}; L domknięty P otwarty [a,b)= x∈R: a≤x<b}.
Iloczyn kartezjański A×B zbioru AiB nazywamy zbiór {(x,y): x∈A Λ y∈B}. Zbiór wartości(przeciwdziedzina)funkcji f: Vf ={y∈Y: ∃ x∈X(y=f(x))}. Wykres funkcji: f: X→Y to Gr f={(x,y): x∈X Λ y=f(x)}. Funkcja NA (na): funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y gdy Y=Vf. Równość funkcji: f: X→Y = g: X→Y gdy ∀x∈X(f(x)=g(x)). Funkcja stała: f: X→Y określa się wzorem ∀x∈X (f(x)=y0) dla y0∈Y. Funkcja identycznościowa (id lub idx): f: X→Y określa się wzorem ∀x∈X (f(x)=x). Funkcja różnowartościowa(1−1): f: X→Y określa się wzorem ∀x1,x2∈X (x1≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)). Funkcja złożona: : niech f: X→Y, g: Y→X; funkcję g• f: X→Z określamy wzorem(g•f)(x)=g(f(x)), x∈XFunkcja złożona istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wartości funkcji wewnętrznej, zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej.
Interpretacja geometryczna obrazu zbioru poprzez funkcję: jeśli X,YcR i f: X→Y, to obrazem zbioru AcX poprzez funkcję f jest rzut części wykresu funkcji f odpowiadającej zbiorowi A na oś rzędnych (Oy). Interpretacja geometryczna przeciwobrazu zbioru poprzez funkcję: jeśli X,YcR i f: X→Y, to obrazem zbioru CcY poprzez funkcję f jest rzut części wykresu funkcji f odpowiadającej zbiorowi C na oś odciętych (Ox).
Funkcja odwrotna: Funkcję f -1: Y→X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f: X→Y, gdy Y=f(X); X=f -1(Y); ∀x∈X (f -1(f(x))=x). O istnieniu funkcji odwrotnej: dla każdej funkcji f: X→Y (na,1-1) istnieje jedna funkcja odwrotna f -1 :Y→X(na,1-1). O funkcji odwrotnej: jeśli f -1 :Y→X jest funkcją odwrotną f: X→Y, to f: X→Y (na,1-1); f -1 :Y→X(na,1-1); ∀x∈X ∀y∈Y ...
rdy4