5-wciecia_wstecz(1).pdf
(
5533 KB
)
Pobierz
Figurę błędów metody analityczno-graficznej otrzymamy po obliczeniu i wykreśleniu
podanymi wcześniej sposobami wstęg wahań dla elementów: wcięć: w przód dla kąta
α
oraz wstecz dla kąta
γ
.
9.6. Wcięcie wstecz
Pojedyncze wcięcie wstecz polega na
wyznaczeniu współrzędnych punktu wcinanego
P
na
podstawie kątów:
α
,
β
(lub
α
1
, α
2
) pomierzonych na
stanowisku
P
do trzech punktów
A, B, C
o znanych
współrzędnych (rys. 9.13). Zadanie to ma tylko jedno
rozwiązanie, ponieważ zawiera dwie obserwacje
niezbędne do określenia dwu niewiadomych
X
P
, Y
P
(
n=u=
2). Nazwa wcięcia pochodzi od nazw
celowych, zwanych
celowymi wewnętrznymi
lub
celowymi wstecz
,
które łączą stanowisko pomiarowe,
którym jest szukany punkt
P
, z punktami znanymi
.
Dla rozwiązania wcięcia wstecz opracowano
bardzo wiele metod rachunkowych i graficznych.
Spośród nich do najbardziej znanych należą sposoby: Sneliusa-Pothenota (Kästnera),
Delambre'a, Collinsa, Ansermeta, Cassiniego a także inne, opisane szczegółowo
w literaturze geodezyjnej (w tym również własne rozwiązanie autora tego podręcznika).
Rozwiązanie wcięcia wstecz sposobem klasycznym (sposobem Kästnera), znanym
także jako
zagadnienie Sneliusa-Pothenota
, polega na znalezieniu kątów pomocniczych:
φ
,
ψ
(rys. 9.14) i sprowadzeniu zadania do typowego wcięcia w przód, które dla kontroli
A
B
C
α
2
α
1
α
β
P
Rys. 9.13. Wcięcie wstecz
P
można wyliczyć dwukrotnie z obu baz:
AB = a
oraz
BC = b
.
Znajomość współrzędnych punktów
A, B, C
pozwala na obliczenie kąta
γ
(
ABC
), wyznaczenie
długości:
a = AB, b = BC
i azymutów tych boków. Po
wprowadzeniu oznaczeń:
φ
=
PBA
oraz
ψ
=
PCB
na podstawie sumy kątów w czworoboku
ABCP
można napisać:
α
β
φ
γ
A
ψ
a
b
α
+
β
+
γ
+
φ
+
ψ
= 360°
stąd:
φ
+
ψ
= 360° − (
α
+
β
+
γ
)
ε
δ
C
B
Połowa sumy kątów pomocniczych wyniesie więc:
Rys. 9.14. Kąty pomocnic
ze
φ
,
ψ
1
360
(
)
2
2
(9.31)
Celem dalszego postępowania prowadzącego do określenia wartości kątów
φ
,
ψ
,
jest wyznaczenie połowy różnicy tych kątów.
Na podstawie twierdzenia sinusów w trójkątach
ABP
i
BCP
można dwukrotnie
zapisać wzory na długość ich wspólnego boku
BP
, a następnie zrównać ze sobą prawe
strony obu równań:
a
b
sin
sin
sin
sin
Przekształcenie tej równości daje następującą proporcję:
sin
: sin
φ
=
(
a
·
sin
)
:
(
b
·
sin )
Wyrażenie występujące po prawej stronie powyższego równania jest znaną
wielkością, która stanowi tangens pewnego, pomocniczego kąta
μ
, zaś sposób obliczenia
sin
sin
Przekształcenie tej równości daje następującą proporcję:
sin
: sin
φ
=
(
a
·
sin
)
:
(
b
·
sin )
Wyrażenie występujące po prawej stronie powyższego równania jest znaną
wielkością, która stanowi tangens pewnego, pomocniczego kąta
μ
, zaś sposób obliczenia
funkcji tg
μ
określa wzór:
a
sin
tg
(9.32)
b
sin
lecz jednocześnie:
sin
tg =
,
(9.32
a)
sin
a więc:
sin
1
1
tg
sin
sin
sin
tg (45) =
sin
1
tg
sin
sin
1
sin
Na podstawie znanych wzorów trygonometrycznych na różnicę i sumę sinusów
kątów możemy napisać:
sin
φ
sin
=
2
sin
cos
2
2
oraz
244
sin
φ +
sin
=
2
cos
sin
2
2
stąd:
2
sin
cos
1
2
2
tg
tg(45 ) =
2
2
cos
sin
tg
2
2
2
Po prostym przekształceniu zapiszemy równanie na obliczenie tangensa połowy
różnicy kątów pomocniczych
φ
,
ψ
:
tg
tg
tg
(
45
)
(9.33)
2
2
Na podstawie wartości połowy sumy i połowy różnicy kątów
φ
,
ψ
możemy teraz
wyznaczyć oba poszukiwane kąty pomocnicze:
(9.34)
2
2
(9.35)
2
2
Znając wartości kąta
φ
i elementów trójkąta
ABP
, obliczymy kąt
δ
*
, a następnie
współrzędne punktu
P
według znanej procedury wcięcia w przód. W sąsiednim trójkącie
BCP
po uprzednim określeniu kąta
ε
można dla kontroli rachunku rozwiązać drugie
2
2
(9.35)
Znając wartości kąta
φ
i elementów trójkąta
ABP
, obliczymy kąt
δ
*
, a następnie
współrzędne punktu
P
według znanej procedury wcięcia w przód. W sąsiednim trójkącie
BCP
po uprzednim określeniu kąta
ε
można dla kontroli rachunku rozwiązać drugie
wcięcie w przód. Po obliczeniu kątów:
δ
,
ε
możemy też sprawdzić, czy suma tych kątów
jest równa obliczonemu wcześniej kątowi
γ
. Ostateczna kontrola wyznaczenia
współrzędnych punktu
P
polega na obliczeniu ze
współrzędnych przynajmniej jednego danego kąta
np.
APB =
α
,
BPC =
β
lub
APC =
α
+
β
.
Wcięcie wstecz jest konstrukcją
niewyznaczalną w przypadku, gdy na okręgu
opisującym trójkąt utworzony przez punkty znane:
A,
B,
C
, zwanym
okręgiem niebezpiecznym
,
znajduje się także wcinany punkt
P
. Jak wynika
z rysunku 9.15 istnieje nieograniczona liczba
punktów:
P, P
´,
P
˝,...
P
n
, położonych na łuku ponad
cięciwą
AC
, z których odcinki
AB, BC
widać pod
tymi samymi kątami
α
,
β
, a więc dla ustalonych
danych wyjściowych istnieje nieskończenie wiele
rozwiązań. Jeśli punkt
P
znajduje się blisko okręgu
niebezpiecznego, wynik obliczenia wcięcia wstecz
jest bardzo niedokładny, toteż stosując tę
konstrukcję należy sprawdzić graficznie lub
rachunkowo, czy nie zachodzi taki przypadek. Nie wystąpi on na pewno, gdy punkt
wcinany znajduje się wewnątrz trójkąta
ABC
utworzonego przez punkty znane, najlepiej w
P
P”
P’
β
α
β
α
α
β
ψ
φ
α
C
β
A
γ
B
Rys. 9.15. Okrąg niebezpieczny
*
Kąty pomocnicze
δ, ε
obliczymy jako dopełnienia sumy kątów w trójkątach:
ABP, BCP
do 180°, czyli:
δ =
180° (
α+φ
) ;
ε =
180° (
β+ψ )
.
Plik z chomika:
stokrotka1106
Inne pliki z tego folderu:
EGZAMIN Z GEODEZJI2 - opracowania.docx
(9098 KB)
Pytania na egzamin z geodezji.docx
(16 KB)
5-wciecia_wstecz(1).pdf
(5533 KB)
geodezja wykłady.docx
(145 KB)
wyklady.doc
(796 KB)
Inne foldery tego chomika:
kartografia
matematyka
Matematyka - Marek Ptak
rachunek wyrównawczy
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin