lista4.pdf

(72 KB) Pobierz
Listazada«:indukcjamatematyczna,nierówno±ci
Mateusz Maciejewski, UMK, 2012.
Zadanie1. Udowodnij metod¡ indukcji równo±ci.
(d) P n i =1 1
i ( i +1) = n
(a) 1 + 2 + ... + n = n ( n +1)
2
n +1
(e) P n i =1 i · i ! = ( n + 1)! − 1
(b) 1 2 + 2 2 + ... + n 2 = n ( n +1)(2 n +1)
6
(c) 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = (1 + 2 + ... + n ) 2
(f) 1+3+5+ ··· +(2 n − 1) = n 2
Czy mo»na te równo±ci uzasadni¢ bez korzystania z indukcji matematycznej?
Zadanie2. Udowodnij metod¡ indukcji, »e dla dowolnej liczby n 2 N zachodz¡ nierówno±ci:
(a) nierówno±¢ Bernoulliego: (1 + a ) n ­ 1 + na , a> − 1
(b) | sin nx |¬ n | sin x |
n +2 + ··· + 1 2 n > 1 2 , n ­ 2
(d) 1 p 1 + 1 p 2 + ··· + 1 p n ­ p n
(c) 1
n +1 + 1
(e) 1 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ··· + 1 n 2 < 2
(f) 1 1 + 1 2 + 1 3 + ··· + 1 n ­ ln( n ) (po wprowadzeniu liczby e )
(g) 1 1 + 1 2 + 1 3 + ··· + 1 n ­ ln( n + 1) (po wprowadzeniu liczby e )
Wida¢ z dwóch ostatnich punktów, »e dowodz¡c czego± indukcyjnie czasem warto wzmocni¢ tez¦! Wynika
to st¡d, »e mocniejsz¡ tez¦ T ( n + 1) mo»emy udowodni¢, korzystaj¡c z mocniejszego zało»enia T ( n ).
Zadanie3. Niech a b¦dzie liczb¡ niezerow¡. Definiuje si¦ pot¦g¦ naturaln¡ a n rekurencyjnie: a 0 = 1 oraz
a n +1 = a n · a . Wyka», »e a n + m = a n · a m ,m,n 2 N .
Wskazówka: rozwa» indukcj¦ wzgl¦dem jednej ze zmiennych.
Zadanie4. Z ba daj monotoniczno±¢ ci¡gów:
(a) a n = n p n (b) a 1 = a , a n +1 = p a n + b , a,b> 0
(c) a 1 = 2, a n +1 = 2 a n − 1.
Zadanie5. Udowodnij metod¡ indukcji podzielno±ci 6 | 13 n − 7 oraz 10 | 2 2 n − 6 ( n ­ 2)
Zadanie6. Dla jakich liczb naturalnych zachodz¡ nierówno±ci: (a) n ! > 2 n (b) 2 n >n 2 ?
Udowodni¢.
Zadanie7. Udowodnij metod¡ indukcji matematycznej nast¦puj¡ce twierdzenie: je±li a 1 ,a 2 ,...,a n s¡ licz-
bami rzeczywistymi dodatnimi takimi, »e a 1 a 2 ...a n = 1, to a 1 + a n + ...a n ­ n .
Zadanie8. Wyka», »e je±li a 1 ,a 2 ,...,a n s¡ liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to
a 1 + ··· + a n
n ­ n p a 1 ··· a n ­ n
.
a 1 + ··· 1 a n
1
Zadanie9. Poka», »e:
(a) 1 + x ­ 2 p x oraz a b + b a ­ 2 dla a,b,x> 0.
n X
1
(b) je±li liczby a k > 0 spełniaj¡ warunek P n k =1 a k ¬ 1, to
a k ­ n 2 .
k =1
(c) je±li a k > 0 oraz a 1 · a n · ... · a n = 1, to (1 + a 1 ) ... (1 + a n ) ­ 2 n .
1
956207324.007.png 956207324.008.png 956207324.009.png 956207324.010.png 956207324.001.png 956207324.002.png 956207324.003.png 956207324.004.png 956207324.005.png 956207324.006.png
 
Zadanie10. Liczba
8
<
!
n !
k !( n − k )!
0 ¬ k ¬ n
n
k
:=
:
0 k< 0 lub k>n
nazywa si¦ symbolem Newtona i czyta si¦ n nad k . Poka», »e
!
!
n
k
n
n − k
(a)
=
,
!
!
n
k
n − 1
k − 1
(b) k
= n
,
!
!
!
,
n + 1
k
n
k − 1
n
k
(c)
=
+
!
n X
n
k
(d) ( a + b ) n =
a k b n − k ,
k =0
!
!
n X
n X
n
k
n
k
= 2 n oraz
( − 1) k
(e)
= 0,
k =0
k =0
!
!
!
, a w szczególno±ci
! 2
!
,
n X
n X
n
k
n
l − k
2 n
l
n
k
2 n
n
(f) (*)
=
=
k =0
k =0
!
n
k
(g) liczba
jest liczb¡ naturaln¡ dla dowolnych liczb naturalnych n,k .
2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin