PMP_wyklad_wstepny_J_Szczepanski.doc

                                                                                  Semestr Zimowy 2012/13

Podstawy Metod Probabilistycznych i Statystyki

dr hab. Janusz Szczepanski, prof. nadzw. UKW

http://www.ippt.gov.pl/~jszczepa

Informacje wstepne 

Wstęp

Historia prawdopodobieństwa.

Początki rachunku prawdopodobieństwa sięgają gier hazardowych (gra w kości, karty).

Podejmowane były próby opracowania zwycięskich strategii.

Podwaliny naukowe pod teorię prawdopodobieństwa położyli tacy matematycy jak:

B. Pascal, P. Fermat, J. Bernoulli, P.S. Laplace, K.F. Gauss, S.D. Poisson, P.Czebyszew, A. Kolmogorow, A. Chinczyn. W Polsce przede wszystkim H. Steinhaus.

Pojęcie prawdopodobieństwa

Do zrozumienia teorii prawdopodobieństwa trzeba znać:

-          rachunek zbiorów,

-          analizę matematyczną,

-          kombinatorykę (szczególnie w kontekście klasycznej definicji).

Historycznie, mamy trzy definicje prawdopodobieństwa, które jednak posiadają wady:

- Definicja klasyczna (najpopularniejsza, szkolna),

- Definicja geometryczna,

- Definicja statystyczna.

Kwintesencja tych podejść jest współczesna Aksjomatyczna Definicja Prawdopodobieństwa.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeśli w wyniku realizacji doświadczenia może zajść jeden z możliwych wzajemnie się wykluczających wyników (zdarzenia elementarne), zaś zajście zdarzeniu A  określone jest przez zajście jednego z możliwych różnych wyników , gdzie oraz , to będziemy mówili, że zajściu zdarzenia A sprzyja m zdarzeń elementarnych.

Jeżeli założymy zatem, że wyniki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe to prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywa się ułamek

.

Wady tej definicji:

a)      jest tautologią. Do definicji jest użyte słowo definiowane (jednakowo prawdopodobne, jednakowo możliwe)

b)     zbiory zdarzeń elementarnych muszą być skończone

c)      do określenia prawdopodobieństwa musimy znać zbiory zdarzeń sprzyjających i zbiór wszystkich zdarzeń.

Geometryczna definicja prawdopodobieństwa

Przykłady, w których przestrzenią zdarzeń elementarnych jest odcinek lub prostokąt. Nie można wtedy zastosować klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Precyzyjne sformułowanie geometrycznej definicji prawdopodobieństwa

Jeśli Q (które jest zbiorem wszystkich zdarzen elementarnych) i A są dwoma zbiorami w przestrzeni r-wymiarowej oraz to prawdopodobieństwo, że dowolny punkt należący do Q będzie również należał do A, równa się stosunkowi miary zbioru A do miary zbioru Q. Przyjętą miarą jest miara Lebesgue’a.

Przykład: Paradoks Bertranda

Prawdopodobieństwo zależy od konkretnego określenia przestrzeni i funkcji prawdopodobieństwa.

Wada definicji geometrycznej

Musimy znać zbiory Q i A.

Definicja statystyczna

Przykład z urna w której znajduje się 5 kul białych i 10 kul czarnych. Nie znamy jednak składu zawartości urny.

W tym przypadku, żeby określić prawdopodobieństwo zdarzenia wyciągnięcia kuli białej powtarzamy w sposób niezależny ze zwracaniem losowanie kuli. Mises zaproponował aby prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A określić następująco:

gdzie oznacza ile razy zaszło zdarzenie A w procesie n losowań.

Ciekawe przykłady (wykład) z: określeniem powierzchni i strzelaniem, składem ryb w stawie.

Wady definicji statystycznej:

a)      doświadczenie trzeba powtarzać nieskończenie  wiele razy

b)     niesprecyzowane jest w jakim sensie jest ta granica (wartość zależy od eksperymentu).

Zatem ostatecznie:

Współczesną definicją prawdopodobieństwa biorącą pod uwagę dotychczasowe analizy (wady i zalety poprzednich definicji) jest:

Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa

Przedstawiona w następnym pliku.

3