obliczanie kształtowników C, T, 2T.pdf

(682 KB) Pobierz
9
Wyznaczanie naprężeń stycznych
wywołanych siłą tnącą
Wprowadzenie
Naprężenia styczne wywołane siłą tnącą wyznaczamy w oparciu o wzór Żurawskiego .
T
⋅
S
z
y
τ
=
z
I
⋅
b
( z
)
y
gdzie:
T – siła tnąca (styczna do przekroju),
S – moment statyczny względem głównej osi bezwładności y ,
części pola przekroju poprzecznego, odciętej linią przechodzącą
przez punkt dla którego liczymy naprężenia styczne,
I – moment bezwładności przekroju poprzecznego,
względem głównej osi bezwładności y ,
b
( z
)
– szerokość przekroju poprzecznego na poziomie punktu,
dla którego liczymy naprężenia styczne.
Przykład
Dla dowolnego przekroju pokazanego na rys. 9.1, chcemy policzyć naprężenia styczne
w punkcie M, wywołane siłą tnącą T . Środek ciężkości rozpatrywanego przekroju
znajduje się w punkcie SC. Osie y i z są głównymi osiami bezwładności przekroju.
Dla tychże osi wyznaczamy momenty bezwładności przekroju (w naszym przypadku
jedynie moment I ). Przez interesujący nas punkt prowadzimy równolegle do osi y
linię prostą, która odcina część pola przekroju poprzecznego. Moment statyczny odcię-
tego fragmentu, którego pole powierzchni jest równe A M , a środek ciężkości znajduje
się w punkcie C, wynosi
M
S y
=
A
⋅
z
M
C
gdzie z jest odległością środka ciężkości odciętej części przekroju poprzecznego od
głównej osi bezwładności.
Na poziomie punktu M szerokość przekroju poprzecznego jest równa
b
( z
)
, a zatem
zależność na naprężenia styczne przyjmie postać
M
T
⋅
S
z
y
M
τ
=
z
I
⋅
b
(
z
)
y
927296910.036.png 927296910.037.png 927296910.038.png 927296910.039.png
 
9.2
9. Obliczanie naprężeń stycznych wywołanych siłą tnącą
Naprężenia o tej wartości występują w każdym
punkcie przekroju poprzecznego leżącym na
poziomie punktu M.
Maksymalne wartości naprężeń stycznych wy-
stępować będą zawsze w warstwie leżącej na
poziomie środka ciężkości przekroju – odcięte
części pola przekroju (górna i dolna) są sobie
równe i osiągają wartości ekstremalne.
Rys. 9.1.
927296910.001.png 927296910.002.png 927296910.003.png
9.3
9. Obliczanie naprężeń stycznych wywołanych siłą tnącą
Zadanie 9.1.
Dla przekroju teowego (rys. 9.2) obciążonego siłą tnącą
kN
T wyznaczyć rozkład naprężeń stycznych τ .
Wymiary przekroju podano w [mm].
=
10
z
Rys. 9.2.
Rozwiązanie
Wyznaczamy środek ciężkości rozpatrywanego przekroju.
W tym celu obliczymy statyczny moment względem pod-
stawy teownika Przekrój składa się z dwu prostokątów
o polach powierzchni
A i
A (rys. 9.3). Moment statyczny
jest równy
S
=
A
z
+
A
z
=
1
1
2
2
3
=
50
⋅
10
⋅
55
+
10
⋅
50
⋅
25
=
40
000
mm
Współrzędna środka ciężkości SC
z
wynosi
S
40
000
z
=
=
=
40
mm
SC
A
+
A
1000
1
2
Określamy główny centralny moment bezwładności I .
W tym celu wyznaczamy główne centralne momenty bez-
władności poszczególnych prostokątów, a następnie, wy-
korzystując twierdzenie Steinera, określamy moment dla
całego przekroju
Rys. 9.3.
2
2
I
=
I
+
A
(
z
−
z
)
+
I
+
A
(
z
−
z
)
=
y
y
1
1
1
SC
y
2
2
2
SC
3
3
50
⋅
10
10
⋅
50
2
2
=
+
500
⋅
15
+
+
500
⋅
(
−
15
)
=
12
12
1000000
4
=
mm
3
Wyznaczamy rozkład naprężeń stycznych. Musimy okreś-
lić wartości naprężeń w punktach A, B, C, D i E (rys. 9.4).
Rys. 9.4.
927296910.004.png 927296910.005.png 927296910.006.png 927296910.007.png 927296910.008.png 927296910.009.png 927296910.010.png 927296910.011.png 927296910.012.png 927296910.013.png 927296910.014.png 927296910.015.png 927296910.016.png 927296910.017.png 927296910.018.png
9.4
9. Obliczanie naprężeń stycznych wywołanych siłą tnącą
Punkt A (rys. 9.5)
Przez punkt A prowadzimy prostą. Jak widać nie od-
cina ona żadnej części pola przekroju, a zatem mo-
ment statyczny
y
S
będzie równy zero. Naprężenia dla
punktu A wynoszą
A =
z τ
Podobna sytuacja wystąpi w przypadku punktu E –
stąd wniosek, że w skrajnych warstwach przekroju
poprzecznego naprężenia styczne przyjmują wartość
zerową.
Punkt B (rys. 9.6)
Prosta poprowadzona przez punkt B odcina prostokąt
o wymiarach
0
y
50 ×
10
mm
. Jego moment statyczny
S
Rys. 9.5.
jest równy
B
3
S
=
50
⋅
10
⋅
15
=
7500
mm
y
Szerokość przekroju poprzecznego na poziomie punk-
tu B wynosi
b
( =
z
50
mm
Wyznaczamy naprężenia styczne
τ
B
T
⋅
S
10000
⋅
7500
z
y
B
τ
=
=
=
4
MPa
z
I
⋅
b
(
z
)
1000000
y
⋅
50
3
Rozkład naprężeń pomiędzy punktami A i B wyzna-
czymy w oparciu o rysunek 9.7. Prosta poprowa-
dzona przez dowolny punkt M, oddalony od osi y
o wartość z , odcina prostokąt, którego szerokość b
jest stała, równa 50 mm, a wysokość h wynosi
Rys. 9.6.
h
=
20
−
z
M
Odległość środka ciężkości odciętej części (punkt K)
od osi y jest równa
20
+
z
M
z
=
K
2
Zatem moment statyczny odciętej części możemy za-
pisać w sposób następujący
20
+
z
M
M
M
S y
=
b
⋅
h
⋅
z
=
50
⋅
(
20
−
z
)
⋅
=
25
(
400
−
z
)
K
M
2
Ogólna zależność na naprężenia styczne dla odcinka
AB ma postać
M
2
M
2
M
T
⋅
S
10000
⋅
25
(400
−
z
)
3
(400
−
z
)
z
y
AB
τ
=
=
=
z
I
⋅
b
(
z
)
1000000
200
y
⋅
50
Rys. 9.7.
3
927296910.019.png 927296910.020.png 927296910.021.png 927296910.022.png 927296910.023.png 927296910.024.png 927296910.025.png
9.5
9. Obliczanie naprężeń stycznych wywołanych siłą tnącą
Wyprowadzona zależność jest parabolą
3
AB
M
τ z
=
−
z
+
6
[MPa]
200
Dokonajmy sprawdzenia powyższej zależności.
Dla punktu A:
z
A =
20
mm
3
3
A
A
2
τ z
=
−
z
+
6
=
−
⋅
20
+
6
=
0
200
200
Dla punktu B:
z
B =
10
mm
3
3
B
B
2
τ z
=
−
z
+
6
=
−
⋅
10
+
6
=
4
MPa
200
200
Punkt C (rys. 9.8)
W przypadku punktu C sytuacja wygląda podobnie
jak w punkcie B (
C
B
S = ) – zmienia się jedynie szero-
kość przekroju poprzecznego
S
y
y
Rys. 9.8.
b
( =
z
10
mm
Naprężenia styczne
τ są równe
C
T
⋅
S
10000
⋅
7500
z
y
C
τ
=
=
=
22
,
MPa
z
I
⋅
b
(
z
)
1000000
y
⋅
10
3
Punkt D (rys. 9.9)
Moment statyczny odciętej części przekroju jest równy
3
D
S
=
50
⋅
10
⋅
15
+
10
⋅
10
⋅
5
=
8000
mm
y
a szerokość przekroju poprzecznego
mm
b
( =
z
10
Naprężenia styczne
τ wynoszą
D
T
⋅
S
10000
⋅
8000
Rys. 9.9.
z
y
D
τ
=
τ
=
=
=
24
MPa
z
z
max
I
⋅
b
(
z
)
1000000
y
⋅
10
3
Podobnie jak w przypadku odcinka
AB, również na odcinku DE rozkład
naprężeń jest opisany parabolą.
Jej równanie ma postać
3
CE
2
τ z
=
−
z
+
24
[MPa]
200
Wynik końcowy przedstawiono
na rysunku 9.10.
Rys. 9.10.
927296910.026.png 927296910.027.png 927296910.028.png 927296910.029.png 927296910.030.png 927296910.031.png 927296910.032.png 927296910.033.png 927296910.034.png 927296910.035.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin