krzywe stożkowe.doc

Wykład nr 3 – szk. ponadgimnazjalne

KRZYWE STOŻKOWE

Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch danych punktów F1 i F2 jest stała i większa od odległości tych punktów. Punkty F1 i F2 nazywamy ogniskami elipsy. Środek odcinka łączącego ogniska nazywamy środkiem elipsy.

Osią wielką elipsy nazywamy odcinek A1A2 (punkty A1 i A2 to punkty przecięcia prostej wyznaczonej przez ogniska z elipsą). Osią małą elipsy nazywamy odcinek B1B2 (punkty B1 i B2 to punkty przecięcia symetralnej osi wielkiej z elipsą). Odległość ognisk elipsy |F1F2| nazywamy ogniskową elipsy. Stosunek ogniskowej do długości osi wielkiej nazywamy mimośrodem elipsy:

Równaniem elipsy , której ogniska leżą na osi OX symetrycznie względem początku układu współrzędnych, 2a jest osią wielką, 2b osią małą, gdzie a > 0 i b > 0, nazywamy równanie:

Elipsa jest zbiorem wszystkich punktów (x, y) spełniających to równanie.

Własność odbiciowa elipsy : każdy promień wystrzelony z jednego ogniska po odbiciu się od elipsy trafia w drugie ognisko.

Szczególnym przypadkiem elipsy jest znany Wam okrąg

Okręgiem nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od danego punktu S jest stała. Punkt S nazywamy środkiem okręgu, a stałą odległość punktów od środka promieniem okręgu.

Równaniem okręgu o środku S = (0, 0) i promieniu r > 0 nazywamy równanie

Lub, bardziej znana postać:

Parabolą o ognisku w punkcie F nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ogniska jest równa odległości od danej prostej k nieprzechodzącej przez punkt F. Prostą k nazywamy kierownicą paraboli.

Równaniem paraboli , której wierzchołkiem jest (0, 0) , kierownica jest równoległa do osi OY oraz ognisko leży na osi OX nazywamy równanie postaci y2 = 2p · x gdzie |p| jest odległością ogniska od kierownicy. Ognisko ma współrzędne , a kierownica równanie .

Własności odbiciowe paraboli:

·  każdy promień "wpadający" do paraboli, prostopadły do kierownicy po odbiciu się od paraboli trafia w ognisko,

·  promienie wychodzące z ogniska po odbiciu się od paraboli tworzą wiązkę równoległą.

Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których moduł (wartość bezwzględna) różnicy odległości od dwóch danych punktów F1 i F2 jest stały i mniejszy od |F1F2| . Punkty F1 i F2 nazywamy ogniskami hiperboli. Odległość między ogniskami hiperboli |F1F2| nazywamy ogniskową hiperboli. Punkty przecięcia hiperboli i prostej wyznaczonej przez ogniska nazywamy wierzchołkami hiperboli. Odcinek A1A2 o końcach w wierzchołkach nazywamy osią rzeczywistą hiperboli. Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek ogniskowej do długości osi rzeczywistej:

Równaniem hiperboli , której ogniska leżą na osi OX symetrycznie względem układu współrzędnych, oś rzeczywista ma długość 2a i ogniskowa jest równa 2c nazywamy równanie:

gdzie b jest taką liczbą dodatnią, że c2 = a2 + b2 .

Asymptotami hiperboli , której ogniska leżą na osi OX symetrycznie względem układu współrzędnych, oś rzeczywista ma długość 2a i ogniskowa jest równa 2c nazywamy proste o równaniach:

i

gdzie b jest taką liczbą dodatnią, że c2 = a2 + b2 .

 Zadania:

1. Napisz równanie elipsy, której oś duża jest równa 20, a mimośród wynosi 0,8.
2. Sprawdź, które z punktów : należą do elipsy .
3. W danej elipsie znajdź połowę wielkiej osi , połowę małej osi , odległość ogniskową oraz mimośród.
4. Napisz równanie elipsy, która ma ogniska w punktach (-3,0) i (3,0) i zawiera punkt (4,1).
5. Napisać równanie stycznej do elipsy w punkcie o odciętej .
6. Dana jest elipsa . Znajdź równanie stycznej do elipsy, poprowadzonej równolegle do prostej .
7. Dobierz tak wartość współczynnika , aby prosta była styczna do elipsy , a następnie znajdź odległość środka elipsy od tej stycznej.
8. Napisz równanie okręgu, którego średnica jest wspólną cięciwą elipsy i paraboli .
9. Sprawdź, które z punktów należą do hiperboli .
10. Znajdź połowę osi rzeczywistej, asymptoty, ogniska i mimośród hiperboli .
11. Napisz równanie hiperboli , mając dane ogniska i  połowę osi rzeczywistej  .
12. Napisz równanie hiperboli o ogniskach w punktach (-10,0), (10,0), która przechodzi przez punkt .
13. Napisz równanie hiperboli, która ma asymptoty i przechodzi przez punkt (10,-3).
14. Znajdź równanie stycznej do hiperboli równoległej do prostej .
15. Podaj współrzędne ogniska oraz równanie kierownicy dla parabol o równaniach: .
16. Napisz równanie stycznej do paraboli w punkcie o rzędnej równej 3.
17. Znajdź równania stycznych do paraboli w punktach jej przecięcia z okręgiem