funkcjaKwadratowa.pdf
(
71 KB
)
Pobierz
Funkcjakwadratowa
MariaMaªycha
Zadanianaplusy
Funkcjakwadratowa
MariaMaªycha
Zadanianaplusy
Zadanie 1
Podaj wzór funkcji P (x); opisuj¡cej pole kwadra-
towej dziaªki budowlanej w zale»no±ci od dªugo±ci
przek¡tnej x:
Zadanie 2
Podaj wzór funkcji P (x); opisuj¡cej pole prosto-
k¡tnej dziaªki budowlanej w zale»no±ci od dªugo±ci
przek¡tnej x; je»eli wiadomo, »e dziaªk¦ mo»na
podzieli¢nadwakwadraty.
Zadanie 3
Przesuwajac parabol¦ y = x
2
o wektor, naszkicuj
wykresyfunkcji:
a)
y = x
2
+ 4x + 4
b)
y = x
2
+ 4x1
c)
y = x
2
4x + 4
d)
y = x
2
+ 2x + 1
e)
y = x
2
+ 6x + 9
f)
y = x
2
8x + 16
Zadanie 4
Naszkicuj wykres funkcji f(x): Odczytaj z wykresu
liczb¦rozwi¡za«równania f(x) = m wzale»no±ciod
parametru m:
a)
f(x) = x
2
b)
f(x) = x
2
+ 3
c)
f(x) = (x + 2)
2
3
d)
f(x) = x
2
2
e)
f(x) = (x1)
2
+ 1
f)
f(x) = x
2
4
Zadanie 5
Wyznaczwspóªczynnikibictrójmianuy = x
2
+bx+c
tak, abydowykresutrójmianunale»aªypunkty A i
B:
a)
A = (1; 1);
y
min
= 5 przy x =2.
Zadanie 8
Wyznaczwspóªczynniki p i q trójmianu
y = x
2
+ px + q wiedz¡c,»ewykresprzecinao± y w
punkcie A = (0; 3) ijeststycznydoosi x.
Zadanie 9
Wyznacz warto±ci parametru m tak, aby trójmian
y = mx
2
+ 3x + 4:
a)
miaªdwamiejscazerowe,
b)
miaªjednomiejscezerowe,
c)
niemiaªmiejsczerowych.
Wykonajpowy»szepoleceniedlatrójmianów:
y = x
2
+ mx + 1 i y = x
2
+ 2x + m:
Zadanie 10
Jakie nale»y wykona¢ przesuni¦cie wykresu funkcji
y = 2x
2
; abyotrzyma¢wykresyfunkcji:
a)
y = 2x
2
4
b)
y = 2(x3)
2
c)
y = 2(x + 3)
2
6
d)
y = 2(x + 1)
2
2x6
e)
y = 2x
2
+ 6x
f)
y = 2x
2
+ 6x8?
Zadanie 11
Przeksztaªcaj¡codpowiedniowykresfunkcji y = x
2
,
naszkicujwykresyfunkcji:
a)
y =x
2
b)
y = x
2
+ 1
c)
y = 2x
2
d)
y = (x + 1)
2
e)
y = (x2)
2
f)
y =(x + 3)
2
g)
y = (x1)
2
+ 2
h)
y =x
2
x2
i)
y =x
2
+ 2x1
j)
y = x
2
3x
Zadanie 12
Naszkicujwykresyfunkcji:
a)
y =jx
2
4x + 3j
b)
y = x
2
+j5x + 6j
c)
y =jxj+j1x
2
j
d)
y = 2x
2
+jxj1
e)
y =jx
2
xj+ 1x
f)
y =jx
2
j+jxj
B = (0;5)
b)
A = (3; 9);
B = (1; 9)
p
p
2; 18)
d)
A = (
2
; 1); B = (2;3)
Zadanie 6
Wyznaczwspóªczynniki p i q trójmianu
y = x
2
+ px + q wiedz¡c, »e miejscami zerowymi
trójmianus¡liczby 2 i3.
Zadanie 7
Wyznaczwspóªczynniki p i q trójmianu
y = x
2
+px+q wiedz¡c,»etrójmianosi¡gaminimum:
c)
A = (
2; 6);
B = (3
Funkcjakwadratowa
MariaMaªycha
Zadanianaplusy
g)
y =jx
2
4j4
h)
y =jx
2
2j
i)
y =jx
2
+ 1j+jxj
Zadanie 13
Wyznaczwspóªczynniki a; b; c trójmianukwadrato-
wego y = ax
2
+ bx + c; je±lidojegowykresunale»¡
punkty:
a)
A = (0; 2); B = (1; 0); C = (1; 0)
b)
A = (0; 4); B = (1; 3); C = (2; 0)
c)
A = (1; 1); B = (2; 4); C = (3; 9)
d)
A = (1; 0); B = (2;1); C = (3;4)
Zadanie 14
Oblicz wspóªczynniki trójmianu y = ax
2
+ bx + c;
je±lidowykresunale»ypunkt A = (3; 0) i y
max
= 12
dla x = 1:
Zadanie 15
Oblicz wspóªczynniki trójmianu y = ax
2
+ bx + c;
je±lidowykresunale»ypunkt A = (5; 5) i y
min
= 1
dla x = 3:
Zadanie 16
Dowykresufunkcji y = ax
2
+ bx + c nale»¡punkty
A = (0; 1) i B = (2; 9) orazwiadomo,»efunkcjama
jednomiejscezerowe. Oblicz a; b i c:
Zadanie 17
Wyznacz najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji w podanym
przedziale:
a)
y =2x
2
+ x1;
Zadanie 21
Wyró»nikipodanychtrójmianóws¡dodatnie. Oblicz
sum¦iiloczynmiejsczerowychka»degoztrójmianów
(bezobliczaniamiejsczerowych):
a)
y = x
2
8x + 12
b)
y = 2x
2
3x1
c)
y =3x
2
+ 5x + 2
d)
y =
1
2
x
2
4x3
Zadanie 22
Wyznaczwspóªczynniki b i c trójmianu
y = x
2
+ bx + c; maj¡cdane:
a)
x
1
= 3 i x
1
+ x
2
= 3;
b)
x
1
= 2 i x
1
x
2
=6;
c)
x
1
=0; 5 i x
1
+ x
2
=1; 5;
d)
x
1
= 0; 8 i x
1
x
2
= 4:
Zadanie 23
Wyznacz trójmian kwadratowy o pierwiaskach x
1
;
x
2
ipodanymzbiorzewarto±ci Y:
a)
x
1
=1; x
2
= 3; Y =h2;1)
b)
x
1
=4; x
2
= 0; Y = (1;
4
i
Zadanie 24
Znajomo±¢pierwiastków x
1
; x
2
funkcji kwadratowej
pozwala wyznaczy¢ o± symetrii paraboli i wspóª-
rz¦dn¡ x
w
wierzchoªka, gdy» x
w
=
x
1
+x
2
: Znajd¹
wspóªrz¦dne wierzchoªka oraz równanie osi symetrii
paraboli:
a)
y = x(x6)
b)
y =x(x10)
c)
y = (2x + 1)(2x3)
d)
y =2(x + 3)(x4)
Zadanie 25
Znajd¹ punkty przeci¦cia paraboli z osiami ukªadu
wspóªrz¦dnychorazjejwierzchoªek. Narysujwykres.
a)
y =x(x + 6)
b)
y = (x1)(x5)
c)
y =
2
(x + 3)(x1)
d)
y = (12x)(2x3)
Zadanie 26
Zaznacz w ukªadzie wspóªrz¦dnych obszar opisany
ukªademnierówno±ci:
a)
x2h0; 2i;
b)
y =x
2
3x + 10;
x2h0; 2i;
c)
y = 2x
2
x + 1;
x2h0; 2i;
d)
y = xx
2
;
x2h0; 2i:
Zadanie 18
Wyznacz najmniejsz¡ warto±¢ funkcji w podanym
przedziale:
a)
y = x
2
+ 4x2; x2h1; 2i;
b)
y = 2x
2
1; 5x + 0; 6; x2h2;1i;
c)
y = x
2
1;
x2h0; 1i:
Zadanie 19
Danes¡funkcjekwadratowe:
a)
y = x
2
7
b)
y = x
2
+
p
5
c)
y = x
2
6x
d)
y = x
2
+ 8x + 16
Wyznacz miejsca zerowe, wspóªrz¦dne wierzchoªka
paraboli i punkt przeci¦cia wykresu z osi¡ x dla
ka»dejfunkcji.
Zadanie 20
Wyznaczznakiparametrów b i c wtrójmianie
kwadratowym y = x
2
+ bx + c; je±litrójmianmadwa
miejscazerowe,przyczymwiadomo»e:
a)
x
1
> 0 i x
2
> 0
b)
x
1
< 0 i x
2
> 0
c)
x
1
< 0 i x
2
< 0
d)
x
1
> 0 i x
2
= 0
y > x
2
3
y 6
2
x
2
+ 2
b)
y > x
2
1
y 6
x
2
+ 1
y > x
2
y 6
y > x
2
4
y 6
c)
d)
jxj+ 2
x
2
+ 4
Zadanie 27
Rozwi¡»algebraicznieigracznieukªadrówna«:
a)
y = x
2
4x + 6
y =x
2
+ 4x
y =
4
x
2
+ x + 1
y = x
2
+ 4x + 1
b)
y 6 x
2
2x + 1
y >
2
x
2
+ 4x + 4
d)
y > x
2
+ 2x + 1
y 6 x
2
+ 6x + 9
c)
y > x
2
1
y 6 x + 1
y > x
2
16
y 6
e)
f)
x
2
+ 10x25
Funkcjakwadratowa
MariaMaªycha
Zadanianaplusy
y = x
2
y =x
2
+ x
h)
y = x
2
+ x + 1
y = x
2
+ 4x
i)
x(x2) = 3(x2)
j)
(x4)
2
= (x4)(2x1)
k)
(3x2)
2
x
2
2x = 1
l)
x
2
x(2x) = 0
m)
(43x)
2
= 163x
2
n)
(13x)
2
+ 3x4x
2
= 9
o)
(3x + 2)
2
= 7(3x + 2)
p)
(x + 6)(x2) = 9
Zadanie 32
Rozwi¡»równanie:
a)
(x
2
4)(x
2
+ 9) = 0
b)
x
4
16x
2
= 0
c)
x
4
2x
2
+ 1 = 0
d)
x
4
256 = 0
e)
3x
2
+ 2x + 1 = 3x + 4x
2
3
f)
4
4
x
2
3x = x
2
+ 2x + 9
g)
(x1)(x + 2) = (2x3)(x + 4)
h)
(2x1)
2
= (3x)(x6)
i)
x2
g)
Zadanie 28
Który z poni»szych trójmianów kwadratowych nie
jestrówny»adnemuzpozostaªych?
a)
y = 2(x2)(x + 4)
b)
y = 2x
2
2x4
c)
y =
2
(x + 1)(4x8)
d)
y = (x + 1)(2x2)
e)
y =
2
(2x + 8)(42x)
f)
y = 2(x2)(x + 1)
Zadanie 29
Rozªó»naczynnikiliniowepodanetrójmiany:
a)
y = x
2
2x24
b)
y = x
2
2x15
c)
y = x
2
13x48
d)
y = 12x
2
20x + 3
e)
y = x
2
(2m3n)x6mn
f)
y = x
2
+ (4mn)x4mn
g)
y = x
2
mx2m
2
h)
y = x
2
8mx + 16m
2
Zadanie 30
Rozwi¡»równanie:
a)
49x
2
+ 140x + 100 = 0
b)
x
2
+ 6x + 9 = (2x1)
2
c)
(2x4)(x100) = (x + 6)(x100)
d)
(x4)(x1) = (2x + 1)(x + 2) + 27
e)
x
2
+ 8x + 12 = 0
f)
x
2
+ 6x7 = 0
g)
x
2
8x + 15 = 0
h)
x
2
+ 18x + 56 = 0
i)
x
2
+ 12x108 = 0
j)
x
2
5x + 6 = 0
k)
x
2
9x22 = 0
l)
x
2
x30 = 0
m)
2x
2
+ 3x35 = 0
n)
6x
2
+ 7x = 3
o)
4x
2
+ 15x = 4
p)
3x
2
4x = 39
r)
9x
2
+ 9x = 4
s)
3x
2
10x + 3 = 0
t)
3
x
2
1; 6x = 1; 2
u)
4
x
2
5x + 8 = 0
Zadanie 31
Rozwi¡»równania:
a)
(x1)(x2) = 20
b)
(x + 1)(2x + 3) = 4x
2
22
c)
(2x3)
2
= 8x
d)
4(x
2
1) = 4x1
e)
(3x)(x1) = (x + 2)(x1)
f)
(x + 1)(x1) = (x1)(3x)
g)
(x + 3)
2
(x + 4)
2
= 3x
2
h)
(5 + 2x)(7x) = (4x3)(3x + 3)
p
x3 = 3
p
j)
2x +
x + 1 + 26 = 0
Zadanie 33
Rozwi¡»równanie. Sprawd¹otrzymanerozwi¡zania.
a)
p
7xx
2
12(x
2
1) = 0
b)
(x
2
+ 2x15)
p
x
2
4x = 0
Zadanie 34
Rozwi¡» równania z niewiadom¡ x. Zbadaj liczb¦
rozwi¡za«wzale»no±ciodparametrów m, n.
a)
x
2
m
2
= 2mx + 1
b)
x
2
mx + m = 1
c)
x
2
mn = (m + n)x
d)
x
2
+ 2mx = n
e)
x
2
mx + mn = n
2
f)
n
x
m
x
n
n
= x
m
g)
x
2
2mx + m
2
n
2
= 0
Zadanie 35
Rozwi¡» równania wprowadzaj¡c pomocnicz¡ nie-
wiadom¡.
a)
x
4
10x
2
+ 9 = 0
b)
x
4
17x
2
+ 16 = 0
c)
(x
2
9)(x
2
16) = 15x
2
d)
x
4
3(x
2
1) = 7(x
2
3)
e)
x
4
8(x
2
1) + 4 = 0
f)
(x
2
16x)
2
2(x
2
16x)63 = 0
g)
(x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2)12 = 0
h)
(x3)2
p
x33 = 0
p
i)
x + 7
x6 = 0
Zadanie 36
Rozwi¡»równanie,stosuj¡c odpowiednie podstawie-
nie.
a)
(x
2
2x)
2
+ 5(x
2
2x) + 4 = 0
b)
(x
2
+ 4x)
2
+ 7(x
2
+ 4x) + 12 = 0
c)
(x
2
5x)(x
2
5x + 2)24 = 0
d)
(x
2
+ 2x)(x
2
+ 2x1)2 = 0
Funkcjakwadratowa
MariaMaªycha
Zadanianaplusy
Zadanie 37
Rozwi¡»równania:
a)
jx
2
4j= 5
b)
jx
2
4j= 4
c)
jx
2
9j+jx
2
4j= 9
d)
jx
2
2x3j=4x
Zadanie 38
Rozwi¡»nierówno±ci:
a)
x
2
< 1
b)
x
2
> 9
c)
x
2
< 4
d)
36 > x
2
e)
(x1)
2
> 4
f)
(2x + 3)
2
< 1
g)
(3x2)
2
< 9
h)
Zadanie 42
Dlajakichwarto±ciparametru k rozwi¡zaniarówna-
nias¡liczbamirzeczywistymiró»nychznaków:
a)
x
2
+ (2k3)x + 2k + 5 = 0
b)
x
2
+ 2(3k1)x + 3k + 11 = 0
c)
k + 4; 25 = (k + 1)xx
2
?
Zadanie 43
Dlajakichwarto±ciparametru m rozwi¡zania x
1
; x
2
równania x
2
4mx + 3m
2
= 0 speªniaj¡ warunek
52(x
1
; x
2
)?
Zadanie 44
Dlajakichwarto±ciparametru a równanie
x
2
2(a2)x4a = 0 marozwi¡zaniarzeczywiste;
dla jakich rozwi¡zania s¡ znaków przeciwnych, dla
jakichobarozwi¡zanias¡liczbamidodatnimi?
Zadanie 45
Dlajakichwarto±ciparametru k równanie
x
2
(k + 2)x + 1 = 0 ma dwa ró»ne rozwi¡zania
rzeczywiste,którychsumajestwi¦kszaod 5?
Zadanie 46
Dlajakichwarto±ciparametru m rozwi¡zania x
1
; x
2
równania x
2
(3m2)x + (m + 2) = 0 speªniaj¡
warunek x
1
+ x
2
> 8?
Zadanie 47
Dla jakiej warto±ci parametru m suma kwadratów
rozwi¡za«rzeczywistychrównaniajestnajmniejsza:
a)
x
2
(m5)x + 2(3m) = 0
b)
x
2
(m2)x3m = 0
c)
x
2
+ (m6)x + m7 = 0
d)
x
2
+ mxm + 3 = 0
e)
x
2
mx + m1 = 0
Zadanie 48
Dla jakiej warto±ci parametru m suma kwadratów
rozwi¡za«równania x
2
+ mx + 4 = 0 jest dwarazy
wi¦kszaodsumytychrozwi¡za«?
Zadanie 49
Dla jakiej warto±ci parametru m suma kwadratów
pierwiaskówrównaniax
2
(m5)x+m
2
6m+5 = 0
jestwi¦kszaod 7?
Zadanie 50
Sprawd¹, czy istniej¡ takie warto±ci parametru a,
dla których równanie x
2
+ ax + 4 = 0 ma dwa
rozwi¡zania, x
1
; x
2
; takie»e x
1
+ x
2
= 1:
Zadanie 51
Dlajakichwarto±ciparametru m zbioremrozwi¡za«
nierówno±cijestzbiórwszystkichliczbrzeczywistych:
a)
x
2
2(m + 1)x + 2m
2
+ 3m1 > 0
b)
x
2
mx + m + 3 > 0
c)
(5m)x
2
2(1m)x + 2(1m) < 0
d)
2x
2
+ (3m1)x + m
2
5m + 3 > 0
e)
(m2)x
2
+ 2(2m3)x + 5m6 > 0
f)
(m
2
+ 5m6)x
2
2(m1)x + 3 > 0?
2
1
> 16
i)
x
2
8x + 12 < 0
j)
x
2
2x8 > 0
k)
x
2
5x > 104
l)
x
2
+ 12x >24
m)
2x(x10) > 4(x8)
n)
x(x + 19) 6 3(18 + 5x)
o)
5(x + 1) < x(3x)
p)
x
2
<4(x + 1)
r)
x
2
x >
2
+ 1
s)
9x
2
4 > 0
t)
x
2
+ 3x2 > 0
u)
(3x1)
2
4(2x)
2
> 0
w)
4x > 5x
2
v)
2
x + 1
p
p
3x
2
4x +
3 < 0
Zadanie 39
Dlajakiejwarto±ciparametru m równaniema
dokªadniejedenpierwiastek. Znajd¹tenpierwiastek.
a)
mx
2
+ 2(m1)x + m3 = 0
b)
x
2
mx + 2 = 0
c)
x
2
+ mx + m + 3 = 0
d)
mx
2
2mx + 5m12 = 0
e)
(8m11)x
2
5x + m1 = 0
f)
(m1)x
2
2(m + 1)x + m2 = 0
g)
(m + 1)x
2
2x + m1 = 0
Zadanie 40
Dla jakiej warto±ci parametru m równanie ma dwa
ró»nerozwi¡zania:
a)
x
2
(m + 3)x +
m
2
4
= 0
b)
(m1)x
2
2mx + m = 0
c)
mx
2
(m + 2)x + 2 = 0
d)
(m1)x
2
(m + 1)x +
4
(m + 1) = 0
Zadanie 41
Dlajakichwarto±ciparametru p rozwi¡zaniarówna-
nias¡liczbamiujemnymi:
a)
x
2
+ 2(p + 1)x + 9p5 = 0
b)
x
2
+ (p5)x + 2p
2
+ p +
2
= 0?
Funkcjakwadratowa
MariaMaªycha
Zadanianaplusy
Zadanie 52
Dla jakich warto±ci parametru a zbiorem warto±ci
trójmianu
a)
y = (1a
2
)x
2
+ 2(1a)x2
b)
y = (a1)x
2
+ (a1)x + a
c)
y =x
2
+ 2ax + a2
jest R
czynupierwiastkówrównania
x
2
2x + m
2
+ 4m + 1 = 0
wzale»no±ciodparametru m:
a)
Podajdziedzin¡funkcji f:
b)
Dlajakiejwarto±ciparametru m funkcja f osi¡ga
warto±¢najmniejsz¡?
c)
Wyznacz pierwiastki x
1
; x
2
tak, aby ich iloczyn
byªnajmniejszy.
Zadanie 63
Znajd¹funkcj¦kwadratow¡ f(x) = ax
2
+ bx + c; do
którejwykresunale»ypunkt (0;2); sumapierwiast-
kówjestrówna
3
; asumaodwrotno±cipierwiastków
jestrówna 4:
Zadanie 64
Dla jakich warto±ci parametru k nierówno±¢ jest
prawdziwadlawszystkich x2
[f0g?
Zadanie 53
Dla jakich warto±ci parametru k zbiorem warto±ci
funkcji:
a)
y = x
2
(2 + k)x + 1
b)
y = kx
2
4x + k + 3
c)
y = (2k3)x
2
+ (6k)x +
k
9
7
[f0g?
Zadanie 54
Dlajakichwarto±ciparametru m równanie
x
2
2mx + m
2
1 = 0 madwarozwi¡zanianale»¡ce
doprzedziaªuh2; 4i?
Zadanie 55
Dlajakichwarto±ci p dziedzin¡funkcji
a)
y =
jest R
+
R:
a)
x
2
+ kx + 9 > 0
b)
x
2
kx + k + 3 > 0
c)
x
2
kx + k + 1 > 0
d)
(5k)x
2
+ (k2)x + 1 < 0
Zadanie 65
Dlajakichwarto±ciparametru m równaniemacztery
ró»nepierwiastki?
a)
x
4
+ mx
2
+ 1 = 0
b)
(m + 1)x
4
4mx
2
+ 2m + 3 = 0
Zadanie 66
Danajestrodzinafunkcjikwadratowych
y =(xm)
2
+ 2m:
a)
Naszkicujparaboledla m =1; m = 0; m = 2:
b)
Podajrównanieprostej,doktórejnale»¡wszyst-
kiewierzchoªkiparaboltejrodziny.
c)
Dlajakichwarto±ciparametru m równanie
(xm)
2
+ 2m = 0 madwapierwiastkidodatnie?
Zadanie 67
Wyznaczwarto±ciparametru m tak,abypierwiastki
x
1
; x
2
równania x
2
+ mx + 2m3 = 0 speªniaªy
warunek:
a)
x
1
+ x
2
= 3
b)
1
p
x
2
2px + p
p
b)
y =
2x
2
+ px + p
jest R?
Zadanie 56
Dla jakiej warto±ci m odwrotno±¢ sumy kwadratów
pierwiastkówrównania x
2
mx + m1 = 0 jestnaj-
wi¦ksza?
Zadanie 57
Jakdobra¢parametr k wtrójmianie
y = x
2
+2(k1)xk
2
+3k+4;abyotrzyma¢kwadrat
wyra»eniapierwszegostopnia?
Zadanie 58
Równanie x
2
+ (a2)x + 2a = 0 majeden pier-
wiastekpodwójny x = 2: Oblicz a.
Zadanie 59
Dlajakichwarto±ciparametru m równanie
x
2
+(m5)x+
m
2
+ m +
4
= 0madwapierwiastki
jednakowychznaków?
Zadanie 60
Jakiwarunekpowinienspeªnia¢parametrk,abyrów-
nanie x
2
2mx + (2mk) = 0 miaªodwapierwiastki
dlaka»dejwarto±ci m?
Zadanie 61
Danejestrównanie x
2
+ (m
2
+ 1)x + m
2
= 0
a)
Dlajakichwarto±ciparametrumrównaniemadwa
ró»nepierwiastki?
b)
Dlajakichwarto±ciparametru m sumapierwiast-
kówjestnajwi¦ksza?
c)
Dla jakich warto±ci parametru m iloczyn pier-
wiastkówjestnajmniejszy?
Zadanie 62
Niech f(m) b¦dzie funkcj¡ okre±laj¡c¡ warto±¢ ilo-
1
x
2
< 0
Zadanie 68
Dan¡liczb¦rzeczywist¡ a przedstawjakosum¦
dwóch takich liczb, aby suma kwadratówtych liczb
byªanajmniejsza.
Zadanie 69
Liczb¦ 8 przedstawjakosum¦takichdwóchskªadni-
ków,abysumaichsze±cianówbyªanajmniejsza.
Zadanie 70
Siatk¡drucian¡dªugo±ci 60 mnale»yogrodzi¢
prostok¡tny plac przylegaj¡cy jednym bokiem do
muru. Jakie wymiary winien mie¢ plac, aby jego
polebyªonajwi¦ksze?
x
1
+
Plik z chomika:
MDominika
Inne pliki z tego folderu:
funkcja_liniowa własności.pdf
(1080 KB)
ciągi.doc
(73 KB)
homograficzna, wykladnicza.doc
(165 KB)
logaratmy,trygonometria,wykazywanie podzielności.doc
(72 KB)
mata.xls
(18 KB)
Inne foldery tego chomika:
Gimnazjum
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin