Zadania na dowodzenie z rozwiązaniami.doc

(623 KB) Pobierz

ZADANIA NA DOWODZENIE Z ROZWIĄZANIAMI

GEOMETRIA

1. W trójkącie miara kąta jest dwa razy większa od miary kąta . Dwusieczna kąta dzieli trójkąt na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta .

2. Odcinki i są wysokościami trójkąta ostrokątnego , a punkt punktem ich przecięcia. Wykaż, że podobne są trójkąty: i ; i ; i .

3. Trójkąty prostokątne równoramienne i są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku jest prosty). Wykaż, że .

4. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

5. W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy dłuższy od drugiego.

6. Dany jest trójkąt prostokątny. Wykaż, że suma pól kół o średnicach będących przyprostokątnymi trójkąta jest równa polu koła o średnicy równej przeciwprostokątnej.

7. Udowodnij, że jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z jego boków, to trójkąt ten jest prostokątny.

8. Udowodnij, że przekątna kwadratu jest równa przekątnej prostokąta .

9. Dwa przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg mają równe długości. Wykaż, że czworokąt ten jest trapezem.

10. Wykaż, że jeśli przekątna trapezu równoramiennego zawiera się w dwusiecznej jego kąta ostrego, to ramię jest równe krótszej podstawie.

LICZBY

11. Wykaż, że nie istnieje taka liczba rzeczywista , aby suma tej liczby i jej odwrotności była równa 1.

12. Wykaż, że jeżeli i , to .

13. Suma dwóch liczb jest równa , a ich różnica jest równa , gdzie i są dodatnimi liczbami całkowitymi. Wykaż, że iloczyn tych liczb jest liczbą wymierną.

14. Stosując wzory skróconego mnożenia rozłóż na czynniki wyrażenie .

15. Stosując wzory skróconego mnożenia przedstaw w postaci iloczynowej wyrażenie: .

16. Wykaż, że jeżeli i oraz , to lub .

17. Uzasadnij, że jeśli , to .

18. Wykaż, że liczba jest dla dowolnej liczby naturalnej kwadratem liczby całkowitej.

19. Wiadomo, że i . Wykaż, że .

20. Uzasadnij, że dla każdej liczby wyrażenie

ma stałą wartość.

21. Uzasadnij, że liczby i są liczbami przeciwnymi.

22. Wykaż, że liczba jest całkowita.

23. Wykaż, że dla zachodzi równość .

24. Uzasadnij, że liczba jest liczbą całkowitą.

25. Wykaż, że liczba jest wymierna.

26. Wykaż, że liczba jest liczbą wymierną.

27. Wykaż, że liczba jest większa od 4.

28* Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.

29* Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez 5.

30* Wykaż, że jeżeli liczby całkowite spełniają równanie , to co najwyżej jedna z liczb dzieli się przez 4.

31. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4.

32. Wykaż, że liczba jest podzielna przez 6.

33. Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej liczba jest podzielna przez 7.

34. Wykaż, że jeśli należy do zbioru liczb całkowitych, to jest podzielne przez 3.

35. Wykaż, że liczba jest podzielna przez 19.

36 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 30.

37* Wykaż, że jest liczbą podzielną przez 31.

38. Wykaż, że liczba jest podzielna przez 91.

39. Wykaż, że kwadrat liczby całkowitej dającej z dzielenia przez 3 resztę 2 , przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

40. Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych przez 3 jest równa 2.

41. Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej różnica iloczynu tej liczby i liczby od niej o 3 większej oraz iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych większych od jest równa -2.