Marek Garbicz

Wartość pieniądza w czasie

Ekonomista często staje przed problemem prowadzenia rachunku ekonomicznego w sytuacji, gdy przychody i nakłady pochodzą z różnych okresów czasu. W takim rachunku nie możemy po prostu sumować kosztów (czy przychodów) z różnych momentów czasowych. Nie jest także poprawne proste porównywanie poniesionych nakładów i osiągniętych korzyści. We wszystkich tych przypadkach musimy bowiem brać pod uwagę, że pieniądz zmienia swą wartość w czasie. Dlaczego wartość pieniądza ulega zmianie? Zróbmy zatem pewien eksperyment myślowy. Zapytajmy mianowicie samych siebie czy potraktowalibyśmy jako równorzędne dwie oferty: (a) otrzymać dziś 100 zł, (b) otrzymać te same 100 zł za rok. Nasza odpowiedź jest na ogół taka, że wolimy otrzymać określoną sumę pieniędzy dziś.

To, że bardziej cenimy złoty dziś niż ten sam złoty w przyszłości wynika z trzech  przyczyn:

¨        kosztu utraconych możliwości,

¨        ryzyka,

¨        inflacji.

Koszt utraconych możliwości:

              Lokując  pieniądze w jakiekolwiek przedsięwzięcie tracimy możliwość osiągania korzyści z tytułu alternatywnego wykorzystania naszych środków pieniężnych. Jeżeli  istnieje więcej niż jedna alternatywa (może ona polegać na założeniu lokaty  bankowej, zakupie papierów wartościowych, uruchomieniu dochodowej działalności produkcyjnej lub handlowej, zakupie nieruchomości z którą wiążemy nadzieję na przyszły wzrost wartości, zakupie dzieł sztuki, rzadkich znaczków czy wyrobów jubilerskich), wybieramy najkorzystniejszą.

              Przyjmijmy, że ta najlepsza alternatywa oznacza lokatę bankową przynoszącą nam r% przychodu od kapitału  rocznie. W rezultacie po roku mielibyśmy K + r K = (1+r)K pieniędzy zakładając, że inicjujemy naszą działalność gospodarczą z kapitałem  K  zł. Właśnie dlatego wolimy dostać obiecaną sumę pieniędzy wcześniej,  bo możemy posiadany kapitał pieniężny wykorzystać jako źródło dochodu. Jeśli kapitał otrzymamy później te dochody nie pojawią się. Te nieosiągnięte dochody stanowią koszt alternatywny, koszt utraconych możliwości. 

Po drugim roku kapitał, który lokujemy wyniesie:

Lokata:  (1+r)*K  plus oprocentowanie po roku r (1+r)K, co daje razem (1+r)K + r(1+r)K = (1+r)2 K zł po drugim roku. Po trzecim roku mamy do dyspozycji kapitał na lokatę w wysokości (1+r)2 K plus oprocentowanie r (1+r)2 K, co łącznie przynosi:

              (1+r)2 K + r(1+r)2 K = (1+r)2 K (1+r) = (1+r)3 K 

Widać (formalnie można to pokazać metodą indukcji), że po t latach kapitał powiększyłby się do K(1+r)t. Dzisiejsze K zł równoważne jest K(1+r)t  zł po t latach.

              Odwróćmy teraz nasze rozumowanie: skoro 1 zł - dziś wart jest (1+r)t  - w roku t, to jaka jest wartość 1 zł z roku t w złotych roku zerowego (czyli dziś).

                                          Rok 0                                                                       Rok t                                                                 

                                            1                                    ≡                                          (1+r)t

                                          1/(1+r)t                       ≡                                                1

Wyrażenie 1/(1+r)t  może być  interpretowane  jako  dzisiejsza  cena  1 złotego w roku t – tym ze względu na koszt utraconych możliwości.

Przykład 1: Niech koszt alternatywny mierzony oprocentowaniem rocznych bonów skarbowych wynosi 7,3% w skali rocznej[1]. Zakładamy, że oprocentowanie to jest stałe w czasie. Ile warta jest dziś (rok 2007) dywidenda w wysokości 32 zł jaką zapłaci spółka X w 2011 roku?

Rozwiązanie: Koszt alternatywny 7,3% = 0,073. Dywidenda zostanie wypłacona za 4 lata, czyli t = 4. Jeden złoty za cztery lata w dzisiejszych złotych wart jest 1/(1+0,073)4 = 1/1,0734. Cała dywidenda warta jest 32 razy tyle, tj. 32/1,0734.

              Operacja, jaką wykonaliśmy nazywa się dyskontowaniem. Dyskontowanie to sprowadzanie wartości pieniężnych z różnych okresów do wartości pieniądza z okresu bazowego (z reguły jest to moment dzisiejszy). By zdyskontować - wystarczy pomnożyć ilość złotych z dowolnego okresu t przez współczynnik dyskontujący o znanej nam już postaci 1/(1+r)t. Wielkość r nazywa się stopą dyskonta. Współczynnik dyskontujący dla okresu bazowego ma wartość 1 (bo dla tego okresu zachodzi t = 0).  Współczynniki dyskontujące pokazują, że wraz z wydłużaniem się okresu t, wartość pieniądza spada. Niech np. jak poprzednio r = 7,3%, wówczas wartość współczynnika dyskontującego, tj. wartość 1 zł z przyszłych okresów w złotych z 2007 roku będzie wynosiła odpowiednio dla różnych lat (w pierwszym wierszu odległość w latach od dziś):  

Oznacza to, że przyszłe, odległe zdarzenia mają znikomą wartość dla rachunku ekonomicznego. W naszym przykładzie, dla stopy dyskonta 7,3%, zdarzenia za 30 lat i więcej mogą być w praktyce zaniedbywane jako nieistotne.  

Ryzyko

Całe powyższe rozumowanie dotyczy sytuacji pewności. Co stanie się jeżeli uwzględnimy stan ryzyka?

Niech f(s) oznacza funkcję gęstości prawdopodobieństwa iż spodziewany dochód w przyszłym roku uszczuplony zostanie o sK, gdzie 0 £ s £ 1 i tym samym dochód wyniesie K - sK. Wtedy, możemy zdefiniować sobie miarę ryzyka w postaci wartości oczekiwanej p = E(s) = òsf(s)ds iż spodziewany dochód w przyszłym roku ulegnie zmniejszeniu, średnio biorąc, p razy (0 £ p £ 1).

Przykład 2:  Przyjmijmy, że posiadamy majątek o wielkości D. Istnieją jednak różne zagrożenia poniesienia straty. Na przykład, prawdopodobieństwa potencjalnych strat wyglądają   następująco: 40% - brak strat, 20% - strata połowy majątku, 30% - strata trzeciej części, 10% - utrata wszystkiego. Oczekiwane ryzyko strat p wynosi więc w naszym przykładzie: p = 0,4*0+0,2*0,5+0,3*0,333+0,1*1 = 0,3.   

Jeżeli porównujemy pewny dochód obecnie z przyszłym oczekiwanym dochodem to, biorąc pod uwagę stopień ryzyka związany z przyszłymi dochodami i miarę ryzyka p, przewidywany, przyszły dochód K równoważny jest bieżącemu - i traktowanemu jako pewny - dochodowi w wysokości K(1 - p). Dla małych wartości p (tj. kiedy p jest małym ułamkiem) wyrażenie 1 - p może być w przybliżeniu zapisane jako 1/(1+p)[2]. Zatem wyrażenie K(1 - p) jest w przybliżeniu równe K/(1+p). Ale wiemy, że K(1 - p) jest wartością K zł z roku 1 wyrażoną w zł roku bazowego. K/(1+p) jest więc też wartością K zł z roku 1 wyrażoną w zł roku bazowego. 

W  efekcie  czynnik  ryzyka  skłania  nas   do   wyceny przyszłego dochodu według stopy  dyskonta  1/(1+p).  Ponieważ  p jest  miarą  ryzyka  tylko  dla  jednego  okresu, to stopa dyskonta dla t - tego roku wyniesie - o ile  stopy  ryzyka  są                                        identyczne dla wszystkich lat  1/(1+p)t .

Inflacja

Najbardziej oczywistym powodem spadającej wartości pieniądza w czasie jest inflacja, tj. zjawisko wzrostu cen. Jeżeli uwzględnimy roczne tempo wzrostu cen t, to po upływie roku wartość 1 złotego wyniesie, mierząc go wartością dzisiejszych złotówek, 1/(1+t). Po dwóch latach ta wartość złotego będzie 1/(1 + t)2. Ostatecznie dyskontujemy (dla okresu 0) dochody przyszłych okresów stopą 1/(1+t)t, gdzie t – numer okresu.

Stopa dyskonta

Niech koszt utraconych możliwości wynosi w poszczególnych latach r1, r2,... ri . ; niech stopa ryzyka wynosi p1, p2, ....pi,....; niech stopa inflacji wynosi t1, t2, .... ti,.... Wówczas stopa dyskonta dla roku i wynosić będzie:

                                                                 1
                                           __________________________

                                              i                  i                    i
                                             [P (1+rk )* P (1+pk )* P (1+tk )]
                                             k=1              k=1              k=1

Jest często stosowaną praktyką założenie, że wszystkie ri = r, pi = p oraz ti  = t. Uzasadnieniem dla tej praktyki jest fakt, że zazwyczaj nie posiadamy dostatecznych informacji by móc w sposób zobiektywizowany różnicować wartości tych parametrów dla poszczególnych lat i wówczas na ogół przyjmujemy wartości aktualne. W tych okolicznościach stopa dyskonta dla roku i upraszcza się do postaci:

                                                                 1

                                          _________________________

                                                    [(1+r)(1+p)(1+t)]i

Stopa dyskonta może być interpretowana jako cena pieniądza w roku i-tym wyrażona w jednostkach roku zerowego. Jeżeli wielkości r, p, t nie są duże możemy w przybliżeniu zapisać (1+r)(1+p)(1+t) » 1 + r +...